线性代数复习--矩阵的秩

定义 13.1 矩阵 的行向量组的秩称为  的行秩, 据政 的列向量组的秩称为  的列秩.

定理 13.1 设  的充分必要条件是  中有一个 ,并且所有含   ( 如果存在的话 )  .

（子式定义：在  矩阵 中，任取 行 列的元素，按原排列组成的 阶行列式，称之为 的 阶子式。）

推论 13.2 设 , 则

(1)  的列秩 的列秩;

(2)  的列秩 的行秩.

定义 13.2 矩阵 的行秩和列秩通称为  的秩, 记为 .

    显然, 矩阵 的秩是唯一确定的 , 并且,  ,  , 零矩阵的秩等于 0.

秩的一个等价定义： 若  矩阵 中有一个 阶子式 ，并且所有的 阶子式全为零，则称 为 的最高阶非零子式， 称为 的秩，记 。

推论 13.3 若矩阵 中有一个 阶子式不为0, 则；若矩阵 中所有 阶子式全为0, 则 .

推论：当 阶方阵 的行列式 ，则 ；反之，当 阶方阵 的秩 ，则。因此 阶方阵可逆的充分必要条件是 （满秩）

定理：初等变换不改变矩阵的秩