ternary string--一道组合数学题

题：用0，1，2三个字符组成n长的字符串，连续出现两个0或两个1的字符串有多少种？

符号说明：f(n)表示符合要求的n长字符串数，f₀(n),f₁(n),f₂(n)分别表示以0，1，2结尾的符合要求的n长字符串数

用递归，考察n长字符串最后一个元素：

（1）若为2，则前n-1个元素恰对应一个符合要求（即连续出现两个0或两个1）的字符串，有f(n-1)个

（2）若为0，则考察倒数第二个元素，(1)若为0，则前n-2个元素任意取，有3^n-2个符合要求的字符串;(2)若为1，则前n-1个字符是以1结尾的符合要求的长为n-1的字符串，有f₁(n-1)个;(3)若为2，则前n-1个字符是以2结尾的符合要求的长为n-1的字符串，有f₂(n-1)个

（3）若为1，类似（2）的分析

得到递归式如下

 

这个式子貌似不好解，可以考虑问题的反面，即既不出现00又不出现11的n长字符串有多少个？然后用3ⁿ减去这个值就得到原问题的解

用g(n)表示符合要求的n长字符串数，g₀(n),g₁(n),g₂(n)分别表示以0，1，2结尾的既不出现00又不出现11的n长字符串数，称既不出现00又不出现11为“性质G”

分析是类似的，仍然考虑末尾的取值

（1）若为2，则前n-1个元素恰对应一个满足性质G的字符串，有g(n-1)个

（2）若为0，则倒数第二个元素必不为0，(1)若为1，则前n-1个字符是以1结尾的符合性质G的长为n-1的字符串，有g₁(n-1)个;(3)若为2，则前n-1个字符是以2结尾的符合性质G的长为n-1的字符串，有g₂(n-1)个

（3）若为1，类似（2）的分析

得到递归式：

写成矩阵形式：

这个是挺好解的，手工用特征值特征向量来求矩阵n-1次幂，也可以用计算机来解，下面是wanbo同学用mathematica解得的结果：

其中长长的表达式就是g(n)，最终结果就是3ⁿ-g(n)