最大全1子矩阵
题目:http://ac.jobdu.com/problem.php?cid=1045&pid=0
- 题目描述:
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在一个M * N的矩阵中,所有的元素只有0和1,从这个矩阵中找出一个面积最大的全1子矩阵,所谓最大是指元素1的个数最多。
- 输入:
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输入可能包含多个测试样例。
对于每个测试案例,输入的第一行是两个整数m、n(1<=m、n<=1000):代表将要输入的矩阵的大小。
矩阵共有m行,每行有n个整数,分别是0或1,相邻两数之间严格用一个空格隔开。
- 输出:
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对应每个测试案例,输出矩阵中面积最大的全1子矩阵的元素个数。
- 样例输入:
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2 2 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
- 样例输出:
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0 4
方法是:
1、先将0/1矩阵读入x,对每一个非零元素x[i][j],将其更新为:在本行,它前面的连续的1的个数+1(+1表示算入自身)
比如,若某一行为0 1 1 0 1 1 1,则更新为0 1 2 0 1 2 3
2、对每一个非零元素x[i][j],在第j列向上和向下扫描,直到遇到比自身小的数,若扫描了y行,则得到一个大小为x[i][j]*(y+1)的全1子矩阵(+1表示算入自身所在行)
比如,若某一列为[0 3 4 3 5 2 1]'(方便起见,这里将列表示成一个列向量),我们处理这一列的第4个元素,也就是3,它向上可以扫描2个元素,向下可以扫描1个元素,于是得到一个4×3的全1子矩阵。
3、在这些数值中取一个最大的。
思想大概如下图所示(空白处的0没有标出)
对照步骤2中给出的例子,蓝色的箭头表示向上向下扫描,黑色的框表示最终得到的全1子矩阵
这样做为什么是对的?
想一想,对那个最大的全1子矩阵,用这种方法能不能找到它呢?——肯定可以。
一个最大全1子矩阵,肯定是四个边界中的每一个都不能再扩展了,如下图
假设图中全1子矩阵就是最大子矩阵,则左边界左侧那一列肯定有一个或多个0(否则就可以向左边扩展一列,得到一个更大的全1矩阵)
对其他3个边界有类似的情况。
然后看图中用黑圈标出的1(其特点是:和左边界左侧的某个0在同一行),从这个1出发,按照之前的方法,向上向下扫描,就可以得到这个子矩阵。所以,肯定可以找到。
下面是我的代码,实际实现的时候,为了提高效率,估计了一下upperbound,这个upperbound就是:在当前列,
包含x[i][col]的连续的非零序列的和,比如对某列[0 3 4 3 5 2 1]',后面6个的upperbound都是
3 + 4 + 3 + 5 + 2 + 1 = 18,对于0元素,不需要upperbound
#include <stdio.h> int m, n; int x[1002][1002]; int upperbound[1002][1002]; //pre处理后,x[i][j]表示原矩阵第i行中x[i][j]前面有多少个连续的1 void pre() { for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) {//注意,j从1开始 //每行第一个元素不用判断,0/1都不用改变,对应每一段的第一个1也是如此 if (x[i][j] == 1 && x[i][j - 1] != 0) { x[i][j] = x[i][j - 1] + 1; } } } } //proc_col对第col列计算每个x[i][col]的upperbound,这个upperbound就是:在当前列, //包含x[i][col]的连续的非零序列的和,比如对[0 3 4 3 5 2 1],后面6个的upperbound都是 //3 + 4 + 3 + 5 + 2 + 1 = 18,对于0元素,不需要upperbound void proc_col(int col) { for (int i = 0; i < m; i++) { if (x[i][col] == 0) { continue; } int sum = 0, j = i; while (j < m && x[j][col] > 0) { sum += x[j][col]; j++; } for (int k = i; k < j; k++) { upperbound[k][col] = sum; } i = j;//之后i还会++,但是不会跳过重要的值,因为此时x[j][]=0或在界外 } } //逐列计算upperbound void calc_upper(){ for (int col = 0; col < n; col++) { proc_col(col); } } //从x[row][col]向上向下扫描 int search_up_down(int row, int col) { int cnt = 1, val = x[row][col]; for (int i = row - 1; i >= 0; i--) { if (x[i][col] >= val) { cnt++; } else { break; } } for (int i = row + 1; i < m; i++) { if (x[i][col] >= val) { cnt++; } else { break; } } return cnt * val; } //得到最大全1子矩阵的大小 int getMax() { int max = 0; for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (x[i][j] != 0 && max < upperbound[i][j]) { int val = search_up_down(i, j); if (val > max) { max = val; } } } } return max; } int main(int argc, const char *argv[]) { while(scanf("%d%d", &m, &n) != EOF) { for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { scanf("%d", &x[i][j]); } } pre(); calc_upper(); printf("%d\n", getMax()); } return 0; }