单源最短路径算法——Bellman-ford算法和Dijkstra算法

BellMan-ford算法描述

1.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ← +∞, dist[s] ←0;
2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）
3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。

1 BELLMAN-FORD(G, w, s)
2 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,s)
3 for i =1 to |G.V|-1　　// 实验证明最多只需|V|-1次外层循环，|V|-1次结束后，若图G中无负权回路，那么s到其他所有顶点的最短路径求得
4 　　for each edge (u, v)∈E   　　//算法核心，松弛每一条边，维持三角不等式成立
5 　　　　RELAX(u,v,w) //对每一条边进行松弛操作
6 for each edge (u, v)∈E　　　　//进行完|V|-1次循环操作后，如果还能某条边还能进行松弛，说明到某个点的最短路径还未找到，那么必定是存在负权回路，返回FALSE
7 　　if d[v] > d[u] + w(u, v)
8 　　　　return FALSE
9 return TRUE　　　　//若进行上面的松弛之后没有返回，说明所有的d值都不会再改变了，那么最短路径权值完全找到，返回TRUE

举例说明：

给定原点是s，初始化时候除了原点s之外，其他的都是无穷大的。因为有5个顶点，所以需要松弛的次数为5-1次

这里我们按照边<t,x>、<t,y>、<t,z>、<y,x>、<y,z>、<z,x>、<z,s>、<s,t>、<s,y>的顺序进行变得松弛操作。

第一次按照上述边进行松弛操作之后(实际上只对<s,t>、<s,y>进行操作)的结果为

第二次按照给定边进行松弛操作之后：

第三次松弛操作之后：

最后一次松弛操作：

给出实力代码

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 
 5 #define INF 0xffff      //权值上限
 6 #define maxe 5000       //边数上限
 7 #define maxn 100        //顶点数上限
 8 int n, m;       //顶点数、边数
 9 int d[maxn];    //保存最短路径权值的数组
10 int parent[maxn];  //每个顶点的前驱顶点，用以还原最短路径树
11 struct edge     //表述边的结构体，因为要对每一条边松弛
12 {
13     int u, v, w;    //u为边起点，v为边端点，w为边权值，可以为负
14 }EG[maxe];
15 
16 bool Bellman_Ford(int s)    //计算从起点到所有顶点的
17 {
18     for(int i = 1; i <= n; i++)     //初始化操作d[EG[j].v] > d[EG[j].u]+EG[j].w
19     {
20         d[i] = INF;
21         parent[i] = -1;
22     }
23     d[s] = 0;
24     bool flag;      //标记，判断d值是否更新，跳出外层循环的依据
25     for(int i = 1; i < n; i++)  //外层循环最多做n-1次
26     {
27         flag = false;   //初始为false,假设不需再更新
28         for(int j = 0; j < m; j++)  //对m条边进行松弛操作，若有更新，flag记为true
29             if(d[EG[j].v] > d[EG[j].u]+EG[j].w)     //if d[v] > d[u] + w(u, v)，更新d[v]
30             {
31                 d[EG[j].v] = d[EG[j].u]+EG[j].w;
32                 parent[EG[j].v] = EG[j].u;
33                 flag = true;
34             }
35         if(!flag) break; //若松弛完每条边后，flag状态不变，说明未发现更新，可直接跳出循环
36     }
37     for(int i = 0; i < m; i++)  //做完上述松弛后，如果还能松弛，说明存在负权回路，返回false
38         if(d[EG[i].v] > d[EG[i].u]+EG[i].w)
39             return false;
40     return true;    //不存在负权回路，返回true
41 }
42 
43 int main()
44 {
45     int st;
46     printf("请输入n和m:\n");
47     scanf("%d%d", &n, &m);
48     printf("请输入m条边(u, v, w)：\n");
49     for(int i = 0; i < m; i++)
50         scanf("%d%d%d", &EG[i].u, &EG[i].v, &EG[i].w);
51     printf("请输入起点：");
52     scanf("%d", &st);
53     if(Bellman_Ford(st))
54     {
55         printf("不存在负权回路。\n");
56         printf("源顶点到各顶点的最短路径权值为：\n");
57         for(int i = 1; i <= n; i++)
58             printf("%d ", d[i]);
59         printf("\n");
60     }
61 }

View Code

输入测试用例

1 2 -1
1 3 4
2 3 3
2 4 2
2 5 2
4 2 1
4 3 5
5 4 -3

Dijkstra算法

　(1)该算法要求所有边的权重均为非负值，即对于所有的边(u,v)∈E，ω(u,v)≥0，—— 既不能有负权重的边，更不能有负权重的环。算法在运行过程中维持的关键信息是一组结点集合S。从源结点s到该集合中每个节点之间的最短路径已经被找到。算法重复的从结点集合V-S中选择最短路径估计最小的结点u，将u加入到集合S中，然后对所有从u发出的边进行松弛操作。

　　(2)算法设计思想如下：