网络流笔记及总结

　网络流是图论中一个博大精深的分支。若要详细讲解网络流的各种模型和应用，甚至可以单独占用一章的篇幅。————李煜东《算法竞赛进阶指南》

　一个网络有且仅有一个源点，有且仅有一个汇点。

　对于网络中的每一条边，有一个流量限制，流过这条边的流量不能超过限制，且其边的流量等于其反边的容量。

　对于费用流问题，每一条边有单位费用，这条边的费用等于流过这条边的流量乘以单位费用，且其反边的单位费用等于这条边费用的相反数

　对于网络中的每一个点（除源点和汇点），流进的流量等于流出的流量。

　因此对于一个网络，有如下性质：

　1、f(x,y)=-f(y,x).

　2、每个点流进流量总和=每个点流出流量总和

　3、f(x,y)<=limit(x,y)　　

　4、c(x,y)=-c(y,x)

　求解与网络有关问题的算法被称为网络流算法。

　最大流：

　对于一个网络，从源点流向汇点的最大流量是这个网络的最大流。

　增广路算法：

　增广路算法有EK与dinic两种，其中前者是后者的基础，后者是前者的优化。

　两种算法的基础思想是从源点向汇点寻找一条增广路，使得有流量能从源点流向汇点。其中EK基于BFS，每次寻找一条增广路，dinic基于BFS+DFS，每次寻找多条增广路。

　优化：1、当前弧优化：如果一条边已经无法再增广，那么在当次增广中把这条边删除。

　　　　2、同理，如果一个点已经无法再增广，那么在当次增广中把该点删除。

　复杂度：EK上界O(n*m*m)，dinic上界(n*n*m)（加入优化），但很难达到上界，一般算法竞赛中，首选dinic；

　预流推进算法：

　预流推进算法是一种非增广路算法，其思想基于若一个点的入流量大于其出流量，则将多出的部分（称为超额流）推送给其他点，又以“高度”来限制推流的顺序。若将连接源点的所有边都初始为满流，经过若干轮推流后（多余的流量推回给源点，汇点不向其他点推流），此时网络里的流量就是网络的最大流。

　复杂度：HLPP上界O(n*n*sqrt(m))，也很难达到上界

　费用流：

　对于一个网络，每条边除了流量限制外，还有一个单位费用。在最大流的前提下最小化费用，就是最小费用最大流。

　算法：

　在增广路算法中，将BFS分层改为SPFA最短路（因为有负边权），再跑dinic或EK；（EK是垃圾）　　

　上下界费用流：

　先把每条边设定一个初始流，即每条边的下界，再处理每个点的入出不平衡。通过设定一个虚拟源点和汇点来调节每个点的流量。

　注意：入流量多的应连源点，出流量多的应连汇点。

　为什么？

　因为虚拟源点向虚拟汇点流时，会增加路径上每条边的流量，入流量多的应增加出流量，出流量反之。

　如果是有源汇问题，则从实际汇点向实际源点连容量为INF的边，即使它们“流量守恒”，转化为无源汇问题求解，最后整个网络的流量即是汇点向源点这条边的流量。

　无源汇问题一般只要求求可行流，但有源汇问题还可能要求求最小流或最大流，怎么办？

　最大流：在去除可行流的残量网络上再跑一遍最大流，与之前的可行流叠加即是最大流。

　最小流：在去除可行流的残量网络上跑一遍从汇点到源点的最大流（相当于抵消最多的流量），与之前的可行流叠加即是最小流