【NOIp2004提高组】食虫算 题解
所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子：
43#9865#045
+ 8468#6633
44445509678
其中#号代表被虫子啃掉的数字。根据算式，我们很容易判断：第一行的两个数字分别是555和333，第二行的数字是555。
现在，我们对问题做两个限制：
首先，我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是\(N\)进制加法，算式中三个数都有\(N\)位，允许有前导的\(0\)。
其次，虫子把所有的数都啃光了，我们只知道哪些数字是相同的，我们将相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是\(N\)进制的，我们就取英文字母表午的前\(N\)个大写字母来表示这个算式中的\(0\)到\(N−1\)这\(N\)个不同的数字：但是这\(N\)个字母并不一定顺序地代表\(0\)到\(N\)−\(1\)。输入数据保证\(N\)个字母分别至少出现一次。
BADC
+CBDA
______
DCCC
上面的算式是一个4进制的算式。很显然，我们只要让\(ABCD\)分别代表\(0123\)，便可以让这个式子成立了。你的任务是，对于给定的\(N\)进制加法算式，求出\(N\)个不同的字母分别代表的数字，使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。
输入输出格式
输入格式：
包含四行。
第一行有一个正整数\(N(N \le 26)\)
后面的三行，每行有一个由大写字母组成的字符串，分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格，从高位到低位，并且恰好有\(N\)位。
输出格式：
一行，即唯一的那组解。
解是这样表示的：输出\(N\)个数字，分别表示\(…A,B,C,…\)所代表的数字，相邻的两个数字用一个空格隔开，不能有多余的空格。
输入输出样例
输入样例#1：
5
ABCED
BDACE
EBBAA
输出样例#1：
1 0 3 4 2
说明
对于30％的数据，保证有\(N \le 10\)
对于50％的数据，保证有\(N \le 15\)
对于全部的数据，保证有\(N \le 26\)
题解
对于这道题，很明显可以总结出它的模型，将问题转化为已知\(N\)元一次方程组以及\(N\)元不等式的求解问题。也就是说可以通过高斯消元来解决。
在这之前，要先知道高斯消元是什么。
答：高斯消元就是加减消元。
对于一个\(N\)元方程组，我们可以将它转化为矩阵乘法的形式，或者一个矩阵的形式。比如说下面这个方程组：
$ x +y = 10\(
\) x - 3y = 6$
可将其转化为：
也可转化为
而后，将每一层的方程处理后与下面的方程相加消去一个未知数，一般情况下，当消除第\(i\)层时，消掉第\(i\)个未知数。
这样消元的矩阵呈现出倒三角型， 如图所示：
如果不好理解，我们可以先模拟下上述过程， 先举个例子：
1 -2 3 6
4 -5 6 12
7 -8 10 21
在这里要注意一下，我们往往是将这个系数绝对值最大的方程转移到被减的这一行，这样就可以减小误差
所以我们先将矩阵变成这样
7 -8 10 21
4 -5 6 12
1 -2 3 6
然后将方程化简，使要被消去的未知数系数为1， 方便后面消元
1 -8/7 10/7 3
4 -5 6 12
1 -2 3 6
然后与下面的式子加减消元，消去未知数，即系数化为0；
1 -8/7 10/7 3
0 -3/7 2/7 0
0 -6/7 11/7 3
然后这时候第一列就被化简完成
第二第三行同理，最终会被化简为上图\((3)\)式
那么我们可以根据上述的过程模拟出高斯消元代码：
#include<bits/stdc++.h>
const double EPS = 1e-8;
double b[111][111];
int n;
int main(){
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++){ //方便起见，我们从0开始编号
for(int j = 0; j < n; j++)
scanf("%lf", &b[i][j]);
scanf("%lf",&b[i][n]);
}
for(int i = 0; i < n; i++){
int pos = i;
for(int j = i; j < n; j++)
if(fabs(b[i][j]-b[pos][i]) <= EPS) pos = j; //调整矩阵
for(int j = 0; j <= n; j++) std::swap(b[i][j], b[pos][j]);
if(fabs(b[i][i]) <= EPS){ printf("No Solution\n"); return 0;}
for(int j = i+1; j <= n; j++) b[i][j] /= b[i][i]; // 化简方程
for(int j = 0; j < n; j++) if(i != j) for(int k = i+1; k <= n; k++) b[j][k] -= b[j][i]*b[i][k]; // 消元
}
for(int i = 0; i < n; i++) printf("%.2lf\n", b[i][n]);
return 0;
}
再回到这道题，就很容易得出解了。
与高斯消元不同的是，这里的解也是未知数，但是未知数的范围是确定的，所以要列出矩阵
根据样例可以列出矩阵：
由此可以得出代码：（由于博主比较弱，代码一旦超过50行就会引起不适，故高斯消元部分压了部分行。
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 26
int n,equ,var,d[MAXN+10],x[MAXN+10];bool vis[MAXN+10];char s[3][MAXN+10];
typedef int matrix[MAXN+10][MAXN+10];matrix a,g;
int gcd(int a,int b) { int t; while(b) {t=a%b;a=b;b=t;} return a;}
bool check() {
memset(vis,0,sizeof vis);
for(int i=1; i<=n; i++) { x[i]=0;
for(int j=1; j<=n; j++) x[i]+=g[i][j]*d[j];
if(x[i]%a[i][i]||x[i]/a[i][i]<0||x[i]/a[i][i]>=n||vis[x[i]/a[i][i]]) return 0;
x[i]/=a[i][i]; vis[x[i]]=1;
}
return 1;
}
void dfs(int i) {
if(i==n) {
if(check()) {
for(int i=1; i<n; i++) printf("%d ",x[i]);
printf("%d\n",x[n]); exit(0);
}return ;
}d[i]=1; dfs(i+1);
d[i]=0; dfs(i+1);
}
int main() {
scanf("%d", &n); scanf("%s%s%s",s[0],s[1],s[2]);
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=0; j<2; j++) a[n-i][s[j][i]-'A'+1]++;
a[n-i][s[2][i]-'A'+1]--;
}
for(int i=1; i<=n; i++) g[i][i]=n,g[i][i-1]=-1;
g[1][0]=0; equ=var=n;
for(int row=1, col=1; row<=equ&&col<=var; row++, col++) { int mxr=row; // 高斯消元，压行写法, 方便从字符中处理。
for(int i=row+1; i<=equ; i++)
if(abs(a[i][col])>abs(a[mxr][col])) mxr=i;
if(mxr!=row) std::swap(a[row],a[mxr]), std::swap(g[row],g[mxr]);
if(!a[row][col]) {row--;continue;}
for(int i=1; i<=equ; i++)
if(i!=row&&a[i][col]) {
int lcm=a[i][col]/gcd(a[i][col],a[row][col])*a[row][col];
int t1=lcm/a[i][col],t2=lcm/a[row][col];
for(int j=1; j<=var; j++) {
g[i][j]=t1*g[i][j]-t2*g[row][j];
a[i][j]=t1*a[i][j]-t2*a[row][j];
}
}
}
dfs(1);
}
posted on 2018-10-23 20:43 legend_noa 阅读(224) 评论(0) 编辑 收藏 举报
