动态规划例题解析
动态规划例题解析
1. 购物满减问题
淘宝的“双十一”购物节有各种促销活动，比如“满 200 元减 50 元”。假设你女朋友的购物车中有 n 个（n>100）想买的商品，她希望从里面选几个，在凑够满减条件的前提下，让选出来的商品价格总和最大程度地接近满减条件（200 元），这样就可以极大限度地“薅羊毛”。
答案
public static void main(String[] args) {
int n;//总商品数目
int w;//满减条件
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
w = sc.nextInt();
boolean[] states = new boolean[3 * w + 1];//状态转移数组，超过满减条件三倍不划算
int[] items = new int[n];//商品价格数组
for (int i = 0; i < n; i++) {
items[i] = sc.nextInt();
}
states[0] = true;//0号空间初始化
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 3 * w - items[i]; j >= 0; j--) {
if (states[j]) {
states[j + items[i]] = true;//对所有可能达到的费用做真值标记
}
}
}
//打印
int cost = 0;//最优花费金额（符合满减条件的且最接近满减条件）
boolean flag = false;
for (int i = 1; i <= 3 * w; i++) {
if (states[i] && !flag) {
cost = i;
System.out.println("可达的金额:" + i);
if (i >= w) {//大于满减额就可以停止
flag = true;//停止的旗帜变量
System.out.println("总价:" + cost);
}
}
}
if (!flag) {
System.out.println("无解");
return;
}
//打印最佳购物清单
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (cost - items[i] >= 0 && states[cost - items[i]]) {
System.out.println("购买了商品: " + i + ",价格: " + items[i]);//从可达状态中获取
cost = cost - items[i];
}
}
}
2.物品价值最大问题
题目描述
王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：
| 主件 | 附件 |
|---|---|
| 电脑 | 打印机，扫描仪 |
| 书柜 | 图书 |
| 书桌 | 台灯，文具 |
| 工作椅 | 无 |
如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1 ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：
v[j 1 ]w[j 1 ]+v[j 2 ]w[j 2 ]+ … +v[j k ]w[j k ] 。（其中 为乘号）
请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。
输入描述:
输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m
（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）
从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q
（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）
输出描述:
输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。
示例1
输入
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
输出
2200
答案
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int N = sc.nextInt();
int m = sc.nextInt();
int[][] val = new int[60][3];
int[][] cost = new int[60][3];
int[] states = new int[N/10+1];
for(int i = 1; i <= m; i++){
int v = sc.nextInt();
int p = sc.nextInt();
int q = sc.nextInt();
if(q==0){//是主件
cost[i][0] = v;
val[i][0]=v*p;
}else{
if(cost[q][1] == 0){//第一个附件
cost[q][1] = v;
val[q][1] = v*p;
}else{
cost[q][2] = v;
val[q][2] = v*p;
}
}
}
//动态规划
for(int i = 1; i <= m; i++){
for(int j = N/10;j >= cost[i][0]/10;j--) {//j比主件还小则没必要继续
//只买主件
if(j*10>= cost[i][0]) {
states[j] = getMax(states[j], states[j-cost[i][0]/10]+val[i][0]);
}//买第一个附件
if(j*10>= cost[i][0]+cost[i][1]) {
states[j] = getMax(states[j], states[j-(cost[i][0]+cost[i][1])/10]+val[i][0]+val[i][1]);
}//买第二个附件
if(j*10>= cost[i][0]+cost[i][2]) {
states[j] = getMax(states[j], states[j-(cost[i][0]+cost[i][2])/10]+val[i][0]+val[i][2]);
}/买两个附件
if(j*10>= cost[i][0]+cost[i][1]+cost[i][2]) {
states[j] = getMax(states[j], states[j-(cost[i][0]+cost[i][1]+cost[i][2])/10]+val[i][0]+val[i][1]+val[i][2]);
}
}
}
System.out.println(states[N/10]);
}
public static int getMax(int a, int b){
return a>b?a:b;
}
