大学物理

质点运动的描述

参考系、坐标系

- 参考系

参考系的定义：一个三维无限延展的刚性框架
也就是说，从一个物体，延伸出三维的框架

常用参考系：

• 地面参考系
• 地心参考系
• 太阳（恒星）参考系
• 实验室参考系

- 坐标系

坐标系的定义：定量地描述物体相对于参考系的运动

常用坐标系：

• 直角坐标系
• 极坐标系
• 球坐标系
• 柱坐标系
• 自然坐标系

不同坐标系下，物体的运动方程是不同的，但物体的运动是不变的，所遵从的规律也是不变的。

质点、质点系

- 质点

质点的定义：只有质量，没有形状和大小的点

质点的适用条件：

1. 物体做平动时
2. 物体的线度远小于物体运动的范围

- 质点系

质点系：多个质点的组合
当物体不能用质点描述时，可以用质点系描述

质点和质点系的意义：

• 近似描述物体的运动
• 通过质点力学，推出质点系力学。一个物体或体系可以看成无穷多质点组成的质点系。

质点运动的描述

- 坐标描述

质点坐标随时间运动的方程，称为运动方程

- 位置矢量描述

位置矢量：从参考点指向质点所在位置的有向线段

分量表示：$\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

位置矢量与参考点的选取有关

- 轨迹方程描述

轨迹曲线的方程，与时间无关

- 位移和路程

位移：物体运动始末位置矢量的改变量
位移与参考点的选择无关

路程：物体运动始末位置间运动轨迹的长度
当$\mathrm{\Delta }t\to 0$时，位移大小与路程近似相等

- 速度

平均速度：位置矢量的变化率$\bar{v}=\frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0}}{t-t_0}$

瞬时速度：对平均速度取极限$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$

速度的大小和方向只要有一个变化，速度就变化

- 速率

路程相对时间的变化率，其平均和瞬时定义与速度类似

- 加速度

速度相对时间的变化率，其平均和瞬时定义与速度类似

质点运动学解题

第一类问题：微分法

已知运动方程，求任意时刻的加速度和速度

对运动方程求一、二阶导即可

第二类问题：积分法

由质点运动的速度或加速度，并附以初始条件（即t=t0时，质点的位置r0和速度v0 ），求质点的运动方程。

核心是求质点坐标和时间的关系。

通过写出a、v的定义式，然后解微分方程，可以求出v、x随时间的关系

自然坐标系 曲线运动

自然坐标系

一个物体的运动轨迹已知，则可以以运动轨迹为轴建立坐标系
$s=s(t)$
线速度$v=\frac{ds}{dt}$

- 定义切向和法向：

切向单位矢量$\overrightarrow{e_t}$与轨迹切线共线，指向自然坐标正向
法向单位矢量$\overrightarrow{e_n}$与切线相垂直，指向轨迹凹侧

曲线运动的加速度

$\overrightarrow{a}=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{e_t}+\frac{v^2}{R}\overrightarrow{e_n}$（R为曲率半径）

解题

- 第一类：已知运动方程，求速度、加速度

用微分法

- 第二类：已知速度/加速度+初始条件，求运动方程

用积分法

相对运动

伽利略变换

一个物体相对两个平动参考系：绝对=牵引+相对
“绝对”指物体相对于选定的不动参考系的速度/加速度，“牵引”指两个参考系的相对速度/加速度，“相对”指物体相对于运动参考系的速度/加速度

牛顿运动定律

第一定律

惯性系下，不受力的物体总是保持静止或匀速直线运动

第二定律

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

第三定律

作用力与反作用力等大反向

四种基本力

常见力

万有引力

$\overrightarrow{F_{12}}=G\frac{m_1{m}_2}{R^2}\overrightarrow{e_{12}}$

弹性力

弹簧弹力：胡克定律
压力、支持力
张力：质量为0的绳子上，张力处处相等

摩擦力

静摩擦
滑动摩擦：$f=\mu N$
流体阻力：v较小时：$f=kv$，v较大时：$f=k{v}^2$

牛顿定律的解题方法

1. 确定研究对象与参考系
2. 列出牛顿运动定律的分量式
3. 考虑约束条件与坐标系变换
4. 联立求解

非惯性系的惯性力

平动系的惯性力

对一加速平动系, 其以a'的加速度加速运动, 则对该坐标系中的物体m, 列出牛顿第二定律:
$\overrightarrow{F}=m(\overrightarrow{a^{\prime }}+\overrightarrow{a})$
变换一下得
$\overrightarrow{F}-m\overrightarrow{a^{\prime }}=m\overrightarrow{a}$
将这个$m\overrightarrow{a^{\prime }}$虚拟成一个力, 称为惯性力

惯性力没有反作用力

匀速转动系的惯性力

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=-m{\omega }^2\overrightarrow{R}$ ($\overrightarrow{R}$从圆心指向圆周)
$\Rightarrow \overrightarrow{F}+m{\omega }^2\overrightarrow{R}$
若将$m{\omega }^2\overrightarrow{R}$虚拟成一个新力, 则物体又受力平衡了
称$m{\omega }^2\overrightarrow{R}$为惯性离心力

若物体相对转动系运动, 则还要引入科里奥利力

冲量和动量

冲量: 力与时间的乘积$\overrightarrow{I}=\int \overrightarrow{F}dt$

动量定理

$\overrightarrow{F}=\frac{d}{dt}(m\overrightarrow{v})=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}$
$\Rightarrow \overrightarrow{F}dt=d\overrightarrow{p}$
两边积分: $\mathrm{\Delta }I=\mathrm{\Delta }p$

冲量定理也可以写分量形式

力对时间的平均: $F=\frac{I}{\mathrm{\Delta }t}$

质点系的动量定理

对质点系中的每个质点列出动量定理后相加, 内力会相互抵消, 最终的总式为
$\overrightarrow{F_{\mathrm{合}}}dt=d{p}_{\mathrm{总}}$

质心的运动

质心

质心：物体上各点的坐标按质量加权平均

• 密度均匀、形状对称的物体，其质心在物体的几何中心

• 可以将质点系分成若干个子系，分别求出各个质心后，再对这些质心加权平均求总质心

质心的运动法定理

质点系的牛顿第二定律：$F=m_{\mathrm{总}}{a}_{\mathrm{质}\mathrm{心}}$
质点系的动量定理：$F_{\mathrm{合}}t=m_{\mathrm{总}}{v}_{\mathrm{质}\mathrm{心}}$

质心参考系

在质心参考系下，质点系中各个质点的总动量为0

质点系的运动可以分解成质心的运动和相对质心的运动

功和能

功

做功与参考系有关，一个力可能在某个参考系中做功，在另一个中就不做功

动能

$dW=F·dr=m\frac{dv}{dt}·dr=m\frac{dr}{dt}dv=mv·dv$
两边积分得
$W=\frac{1}{2}m{v}_1^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$

对质点系的动能定理

$\sum W=\sum E_{k1}-\sum E_{k0}$

作用力与反作用力的做功之和

$W=F·d{x}_{\mathrm{相}\mathrm{对}}$

保守力做功与势能

1. 摩擦力做功：与路径有关

2. 重力做功：与路径无关，只与初末高度有关
   $\Rightarrow$若一个力为常矢量，则其做功与路径无关

3. 万有引力做功：与路径无关，只与初末距离有关
   $\Rightarrow$若$F=F(r)\hat{r}$（F为球对称的有心力）则F做功与路径无关

4. 弹簧的弹力也为保守力

势能

$E_{p\mathrm{末}}-E_{p\mathrm{初}}=-W$
$\Rightarrow$保守力势能的增量等于保守力做功的负值

用势能计算时，必须先选定势能零点

势能是相互作用能，因此势能属于相互作用的一对物体，而不是一个物体

常见的势能表达式

• 重力：$mgh，\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{为}h=0$
• 万有引力势能：$-G\frac{Mm}{r}，\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{远}$
• 弹力势能：$\frac{1}{2}k{x}^2，\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{为}x=0，\mathrm{即}\mathrm{弹}\mathrm{簧}\mathrm{原}\mathrm{长}$

保守力的性质

$F(x)=\frac{d{E}_p}{dx}$，即保守力的大小是势能的一阶导
保守力的方向指向势能下降最快的方向
平衡位置：保守力为零，且是势能的极小值点

机械能定理

$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{非}\mathrm{保}\mathrm{内}}+W_{\mathrm{保}\mathrm{内}}=\mathrm{\Delta }{E}_k$
$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{非}\mathrm{保}\mathrm{内}}=\mathrm{\Delta }{E}_k-W_{\mathrm{保}\mathrm{内}}$
$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{非}\mathrm{保}\mathrm{内}}=\mathrm{\Delta }{E}_k+\mathrm{\Delta }{E}_p$

将动能与机械能的和称为机械能，因此当外力与内部非保守力不做功时，质点的机械能守恒

能量守恒定律

角动量

角动量的定义

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$
其中r为质点到参考点的位矢，p为质点的动量

• 算角动量前要先确定参考点

力矩

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=\frac{dL}{dt}$

角动量定理

$\overrightarrow{M_{\mathrm{合}}}=\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$

角动量守恒定律

当合外力的力矩为0时，质点的角动量守恒

质点系的角动量定理

$\overrightarrow{M_{\mathrm{合}}}=\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$
质点系受外力力矩之合等于质点系角动量的变化率
合外力力矩之和≠合外力的力矩

质点系的角动量守恒

若对某固定点而言，质点系所受的外力矩之和为0，则质点系对该点角动量守恒

电磁

电荷

库仑定律

$F=k\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}$
$k=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$
(${ϵ}_0$为真空介电常数)
库仑力满足叠加原理

库伦定律和库仑力的叠加原理是电磁学中的两条基本实验定律，其余理论都是它们的推论

均匀带电体的库伦定律

$dF=k\frac{q_{0}dq(r)}{r^2}$

电场

静电场

电场的强度

场源电荷q，检验电荷q0
$F=q_{0}k\frac{q}{r^2}=q_{0}E$

电偶极矩

一正一负两个电荷，电荷量为q，定义$\overrightarrow{p}=q\overrightarrow{l}$

求均匀带电体的电场

1. 先根据电荷分布求出电荷元dq
2. 用电荷元写出dE的分量式
3. 各个方向上分别对E进行积分

电场强度通量

电场线

• 起始于正电荷，终止于负电荷
• 场强方向沿电场线切线方向，场强越强电场线越密
• 非闭合曲线，不相交

电通量

有向面元：$d\overrightarrow{S}=dS\overrightarrow{e_n}$
en为面元的法向单位向量，向内或向外可以任取
电场强度：
$d{\mathrm{\Phi }}_e=\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}$
${\mathrm{\Phi }}_e=\int \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}$

• $\overrightarrow{S}$方向的确定
  非闭合曲面：任意
  闭合曲面：向外
• 电通量为标量，其正负表征电场是穿入还是穿出

高斯定理

真空中任何静电场中，穿过任意一个闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的电荷量的代数和除${ϵ}_0$
即${\mathrm{\Phi }}_e=\frac{q_{\mathrm{内}}}{{ϵ}_0}$

用高斯定理求有特殊对称性的电场：

1. 由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性
2. 根据电场分布的对称性选择闭合曲面
3. 应用高斯定理

静电场力做的功

静电场力是保守力，做功与路径无关

静电场的环路定理

在静电场中，沿着闭合路径移动检验电荷，电场力做功为0

可以通过环路定理判断一个电场是否为静电场

静电势能

$E={\int }_P^0{q}_0\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$

电势

定义：$\varphi =\frac{W}{q_0}={\int }_P^0\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$，即单位正电荷的静电势能

电势差：$U_{ab}={\varphi }_A-{\varphi }_B$，也就是单位正电荷从a→b过程电场力做的功

电势的叠加原理：一点的电势，等与这点对不同电荷源的电势相加

点电荷的电势：$\varphi =\frac{k{q}_0}{r}$

电势与电场力的关系

$\overrightarrow{F}=-\mathrm{\nabla }W$
$q_0\overrightarrow{E}=-q_0\mathrm{\nabla }\varphi$
$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi$

等势面

将所有电势相等的点连成一个面

等势面的性质：

1. 电场线与等势面处处正交
2. 等势面越密的地方电场强度越大
3. 电场强度方向指向电势降落的方向

静电平衡

静电平衡条件

1. 导体内部任意一点电场强度为0
2. 导体表面处电场强度垂直于表面
3. 导体是一个等势体

静电平衡导体的电荷分布

1. 内部电荷处处为0
2. 导体表面附近一点的电场强度，与该点处导体表面电荷面密度成正比
   高斯定理解得：$E=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$
3. 电荷面密度与导体表面曲率有关，曲率越大，面密度越大（尖端放电）

静电屏蔽

1. 实心导体

2. 无外电荷，导体整体不带电：表面电荷处处为0

3. 无外电荷，导体整体带电：表面电荷分布使导体内部电场处处为0（定理：对给定导体和电荷量，这样的电荷分布是唯一的）

4. 有外电荷，导体整体带电：外电荷和表面电荷分布使导体内部电场处处为0

5. 有外电荷，导体接地：外电荷和表面电荷分布使导体内部电场处处为0，且导体的电势为0,（通过改变带电量实现）

6. 导体空腔

7. 内外无电荷，导体整体不带电

电容器

电容

$C=\frac{Q}{U}$——衡量单位电势差所带的电荷量

电容器的串并联

1. 并联
   电容：$C=C_1+C_2+C_3+......$
   耐压性：为其中耐压性最差的电容的值
2. 串联：$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}......$
   耐压性：提高

电容的计算

平行板电容器

电流

定义

$i=\frac{dq}{dt}$

电流密度

定义

$\overrightarrow{j}=\frac{dI}{d{S}_{\perp }}\overrightarrow{e_n}$

微观表达式

$\{\begin{array}{l}I=nqd{S}_{\perp }v\\ \overrightarrow{j}=\frac{dI}{d{S}_{\perp }}\overrightarrow{e_n}\end{array}$
得$j=qnv$