关于分治FFT"我卷我自己"形式

以下只讨论这种一般的"我卷我自己"形式：

\[f_n=\sum\limits_{i=1}^{n-1}f_if_{n-i} \]

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如果式子是\(f_n=\sum\limits_{i=1}^{n-1}f_ig_{n-i}\)的话，就是普通的分治FFT了。

普通分治FFT做法是：solve(l,r)时，先行递归计算左半区间solve(l,mid)，得到\(f_{l,,,mid}\)的准确值之后，卷上\(g_{1,,,r-l}\)，这样把[l,mid]的权值贡献给右半区间[mid+1,r]，然后递归计算右半区间solve(mid+1,r)。

我们把这个贡献方式记为：[l,mid]*[1,r-l]贡献给右区间。

在这里，\(g_{n-i}\)都是预先给出的。但是如果是我卷我自己形式的话，\(f_{n-i}\)也是要求在计算过程中求出的。

那么就有可能会碰到一个问题，当递归完左半区间打算计算其对右半区间的贡献时，我们可能并没有完全得到\(f_{1,,,r-l}\)的准确值。

这里就需要根据\(l\)的取值分成两种情况讨论：

• \(l\neq 1\)

  此时的\(l\)一定是形如\([(mid=(1+r)/2)+1,r]\)的区间，即\([1,r]\)的右半区间，或者从这类区间递归而来。递归过程中要么\(l\)增大，要么\(r\)减小，所以一定会有\(l\ge r-l\)成立。

  这意味着solve(l,mid)之后\(f_{l,,,mid}\)和\(f_{1,,,r-l}\)的准确值都是已经求好了的。

  那么这种情况下贡献直接照普通分治FFT的方式计算即可。

  这里还有一个性质是[l,mid]和[1,r-l]无重叠部分，端点忽略不计(???)

• \(l=1\)

  这时\(1\ge r-1\)是不一定成立的。

  把\(f_{1,,,r-1}\)拆成两部分看：

  1. \(f_{1,,,mid}\)部分。这一部分是在solve(1,mid)的时候已经算出来了的，所以同样可以直接按照普通分治FFT做法，\(f_{1,mid}\)和\(f_{1,mid}\)卷一下贡献给右半区间。

  2. \(f_{mid+1,,,r-1}\)部分(这里就是与普通FFT不同之处)。因为刚递归计算完[1,mid]，所以这一部分当然是还没计算出准确值的，值都是0。此时[1,mid]*[mid+1,r-1]这部分就无法贡献给右半区间。

  但是注意到[mid+1,r-1]区间，其左端点是不等于1的。那么在计算完[mid+1,r-1]的准确值时，我们肯定已经知道[1,mid]的准确值，所以可以在那时再把贡献算上。

  即本来是要在solve(1,mid)时[1,mid]*[mid+1,r-1]贡献给右半区间，现在变成solve(mid+1,r-1)时[1,mid]*[mid+1,r-1]贡献给右区间。这里[1,mid]*[mid+1,r-1]恰好就是solve(mid+1,r-1)时本来要计算的(case1中)[mid+1,r-1]*[1,mid] swap一下的样子。

总结一下，具体流程就是：

首先递归solve(l,mid)计算完[l,mid]的准确值之后，

若\(l=1\)，则只做[1,mid]*[1,mid]的贡献。

若\(l\neq 1\)，先做[l,mid]*[1,r-l]的贡献，然后再做[1,r-l]*[l,mid]的贡献以补偿在\(l=1\)时的未计算量。

最后递归solve(mid+1,r)。

一道例题：

LOJ2554 「CTSC2018」青蕈领主

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Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),_ed=(b);i<=_ed;++i)
#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),_ed=(b);i>=_ed;--i)
#define mp(x,y) make_pair((x),(y))
#define sz(x) (int)(x).size()
#define pb push_back
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
inline int read(){
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^'0');ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}

const int P=998244353;
int n,L[50005],f[140005];
inline int power(int b,int n){int ans=1;for(;n;n>>=1,b=1ll*b*b%P)if(n&1)ans=1ll*ans*b%P;return ans;}
inline void inc(int& x,int y){x=x+y<P?x+y:x+y-P;}
inline void dec(int& x,int y){x=x-y>=0?x-y:x-y+P;}

int trans[140005],w[140005];
void NTT(int* a,int n){
	static ull f[140005];
	REP(i,0,n-1)f[i]=a[i];
	REP(i,0,n-1)if(i<trans[i])swap(f[i],f[trans[i]]);
	for(int len=2,d=1;len<=n;d=len,len<<=1)
		for(int p=0;p<n;p+=len)
			for(int i=p;i<p+d;++i){
				int t=f[i+d]*w[d+i-p]%P;
				f[i+d]=f[i]+P-t,f[i]+=t;
			}
	REP(i,0,n-1)a[i]=f[i]%P;
}
void times(int* f,int* a,int m1,int m2,int lim){
	static int g[140005];
	int n=1;for(;n<m1+m2-1;n<<=1);
	REP(i,0,n-1)trans[i]=(trans[i>>1]>>1)|(i&1?(n>>1):0);
	for(int len=2,d=1;len<=n;d=len,len<<=1){
		int e=power(3,(P-1)/len);
		REP(i,w[d]=1,d-1)w[d+i]=1ll*w[d+i-1]*e%P;
	}
	REP(i,m1,n-1)f[i]=0;REP(i,0,m2-1)g[i]=a[i];REP(i,m2,n-1)g[i]=0;
	NTT(f,n),NTT(g,n);
	REP(i,0,n-1)f[i]=1ll*f[i]*g[i]%P;
	NTT(f,n);int inv=power(n,P-2);
	reverse(f+1,f+n);
	REP(i,0,lim-1)f[i]=1ll*f[i]*inv%P;
	REP(i,lim,n-1)f[i]=0;
}

void solve(int l,int r){
	static int A[140005],B[140005];
	if(l==r)return inc(f[l],1ll*(l-1)*f[l-1]%P);
	int mid=(l+r)>>1;
	solve(l,mid);
	if(l==1){
		A[0]=A[1]=B[0]=B[1]=0;
		REP(i,2,mid)A[i]=1ll*f[i]*(i-1)%P,B[i]=f[i];
		times(A,B,mid+1,mid+1,r+1);
		REP(i,mid+1,r)inc(f[i],A[i]);
	}
	else{
		REP(i,l,mid)A[i-l]=1ll*(i-1)*f[i]%P;
		B[0]=B[1]=0;
		REP(i,2,r-l)B[i]=f[i];
		times(A,B,mid-l+1,r-l+1,r-l+1);
		REP(i,mid+1,r)inc(f[i],A[i-l]);
		A[0]=A[1]=0;
		REP(i,2,r-l)A[i]=1ll*(i-1)*f[i]%P;
		REP(i,l,mid)B[i-l]=f[i];
		times(A,B,r-l+1,mid-l+1,r-l+1);
		REP(i,mid+1,r)inc(f[i],A[i-l]);
	}
	solve(mid+1,r);
}

int cal(int l,int r){
	if(L[r]!=r-l+1)return 0;
	int p=r-1,res=1,num=1;
	while(p>=l)res=1ll*res*cal(p-L[p]+1,p)%P,p-=L[p],++num;
	res=1ll*res*f[num-1]%P;
	if(p<l-1)res=0;
	return res;
}

int main(){
	// freopen("in.in","r",stdin);
	int T=read();n=read();
	f[0]=1,f[1]=2;
	solve(1,n-1);
	REP(t,1,T){
		REP(i,1,n)L[i]=read();
		printf("%d\n",cal(1,n));
	}
	return 0;
}