Dilworth定理

Dilworth定理

对于一个偏序集，其最少链划分数等于最长反链的元素个数。

补充：Dilworth定理的对偶定理：对于一个偏序集，其最少反链划分数等于最长链的元素个数。

偏序

• 自反性：\(\forall a\in A,a\le a\)

• 反对称性：\(\forall a.b\in A,\)若\(a\le b,b\le a,\)则\(a=b\)

• 传递性：\(\forall a,b,c\in A,\)若\(a\le b,b\le c,\)则\(a\le c\)

• 不可比：定义集合\(A\)的一个二元关系，对于\((a_1,b_1),(a_2,b_2)\)两个元素，

  \((a_1,b_1)\le(a_2,b_2)\)当且仅当\(a_1\le a_2\)且\(b_1\le b_2\)，

  若有\(a_1> a_2\)且\(b_1\le b_2\)，则两元素不可比

链（全序集）

设\(\le\)为非空集合\(A\)上的一个偏序关系，若偏序集\((B,\le)\)中的元素两两可比，则\((B,\le)\)为链。

反链

若偏序集\((B,\le)\)中的元素两两不可比，则\((B,\le)\)为反链。