Luogu4219 [BJOI2014]大融合

Link

Solution

求两端点的子树大小然后相乘。

可以想到直接断边然后两边都\(makeroot\)一下。答案就是根节点的\(size\)。

但是怎么维护\(size\)呢？实子树大小可以直接由两个实儿子得到。但是虚子树不行。所以可以对每个点多维护一个\(sv[]\)，表示这个节点的虚子树大小总和。

那么\(pushup\)就相应变成：

inline void pushup(int x){s[x]=s[ch[x][0]]+s[ch[x][1]]+sv[x]+1;}

我们假设已经知道每个节点的\(sv[]\)，考虑有哪些操作会改变\(sv[]\)。

肯定是那些涉及虚实边切换的操作。像是\(link\)，\(access\)一类。

总结一下就是：

\(rotate\)和\(splay\)都是在实链上操作，只会改变节点的相对位置，并不影响虚实边，所以不需要修改\(sv[]\)。

\(access\)每次会把原来的右实儿子变成虚儿子，再把传上来的节点变成右实儿子。所以需要更改\(sv[]\)。

inline void access(int x){
		for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
			splay(x),sv[x]+=s[ch[x][1]]-s[y],ch[x][1]=y,pushup(x);
	}

\(makeroot\)，\(split\)，\(findroot\)都只是调用了原来的函数。不用做修改。

\(link\)使\(x\)成为了\(y\)的虚儿子，需要修改\(y\)的\(sv[]\)。而且特别注意不仅要让\(x\)在根节点位置，\(y\)也要放到根节点处。如果\(y\)不在根节点，那么\(sv[y]\)变化，\(y\)的祖先的\(sv[]\)也有可能要随之变化，这是不能接受的。

inline void link(int x,int y){
		makeroot(x);makeroot(y);//如果y不在根节点，那它祖先的虚子树信息也要一起修改;
		fa[x]=y;
		sv[y]+=s[x];
	}

\(cut\)只是删除了一条实边，\(pushup\)会自行修改，不用管。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),ed=(b);i<=ed;++i)
inline int read(){
	register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=x*10+(ch^'0');ch=getchar();}
	return f?x:-x;
}

const int N=1e5+10;
int n,q;

namespace LinkCutTree{
	int fa[N],ch[N][2],r[N],s[N],sv[N];
	inline void pushr(int x){swap(ch[x][0],ch[x][1]),r[x]^=1;}
	inline void pushdown(int x){if(r[x])pushr(ch[x][0]),pushr(ch[x][1]),r[x]=0;}
	inline void pushup(int x){s[x]=s[ch[x][0]]+s[ch[x][1]]+sv[x]+1;}
	inline int getdir(int x){return x==ch[fa[x]][1];}
	inline bool noroot(int x){return x==ch[fa[x]][0]||x==ch[fa[x]][1];}
	inline void rotate(int x){
		int f=fa[x],p=fa[f],k=getdir(x),s=ch[x][k^1];
		ch[x][k^1]=f;ch[f][k]=s;if(noroot(f))ch[p][getdir(f)]=x;
		fa[f]=x;fa[x]=p;if(s)fa[s]=f;
		pushup(f);
	}
	inline void splay(int x){
		static int stk[N];
		int tp=0,y=x;stk[++tp]=y;
		while(noroot(y))stk[++tp]=y=fa[y];
		while(tp)pushdown(stk[tp--]);
		for(int f=fa[x];noroot(x);rotate(x),f=fa[x])
			if(noroot(f))rotate(getdir(f)==getdir(x)?f:x);
		pushup(x);
	}
	inline void access(int x){
		for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
			splay(x),sv[x]+=s[ch[x][1]]-s[y],ch[x][1]=y,pushup(x);
	}
	inline void makeroot(int x){
		access(x);splay(x);pushr(x);
	}
	inline void split(int x,int y){
		makeroot(x);access(y);splay(y);
	}
	inline void link(int x,int y){
		makeroot(x);makeroot(y);//如果y不在根节点，那它祖先的虚子树信息也要一起修改;
		fa[x]=y;
		sv[y]+=s[x];
	}
	inline void cut(int x,int y){
		split(x,y);
		fa[x]=ch[y][0]=0;
	}
}using namespace LinkCutTree;

int main(){
	n=read(),q=read();
	REP(t,1,q){
		char ch;scanf("%c",&ch);
		int x=read(),y=read();
		if(ch=='Q'){
			cut(x,y);makeroot(x);makeroot(y);
			printf("%lld\n",1ll*s[x]*s[y]);
		}
		link(x,y);
	}
	return 0;
}