拉格朗日插值 学习笔记

拉格朗日插值 学习笔记

前言

模拟赛考了，我不会，故学之。

真的好抽象……

背景

众所周知，用 $n$ 个点可以确定一个 $n-1$ 次的多项式，那么应该如何确定呢？

我们不妨考虑这样一个题目（其实就是洛谷模板题）：给定 $n$ 个点 $(x,y)$，要求确定 $f(x)$。当然，直接求出系数可能比较困难，所以这里求出 $f(k)$ 的值即可。模 $998244353$。

正文

下文均忽略了模数，因为取模与否无关紧要。

方法一：高斯消元

直接把每个 $x_i$ 代入，这样就得到了 $n$ 个方程。直接解出各个系数即可。复杂度 $O(n^3)$。

方法二：拉格朗日插值

这里利用了构造的思想。

我们要构造 $n$ 个函数 $g(x)$，满足：

$$g_i(x)=\{\begin{array}{rl}& y_i(x=x_i)\\ & 0(x\in x_i,x\ne x_i)\end{array}$$

也就是说，函数 $g_i(x)$ 的图像在横坐标等于 $x_j(j\ne i)$ 的时候过的是点 $(x_j,0)$，在 $x_i$ 处过点 $(x_i,y_i)$。

很显然，$f(x)=\sum _{i=1}^n{g}_i(x)$。

那么对于 $g_i(x)$ 的构造，可以这样考虑，直接设 $g_i(x)=a\cdot \prod _{j\ne i}^n(x-x_j)$，然后代入 $(x_i,y_i)$ 得 $a=\frac{y_i}{\prod _{j\ne i}^n(x_i-x_j)}$

因此，$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j\ne i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$。

这样，就可以 $O(n^2)$ 地求出 $f(k)$ 了。

当然，这个表达式还有另一种推法，用了类似中国剩余定理的思路来构造。可惜我对多项式的除法和取余什么的不是很熟悉，就不在这里说了。

对于 $x$ 连续的插值

上面的算法是 $O(n^2)$ 的，所以如果 $n$ 很大就没办法了。但如果我们可以快速得到 $x\in [1,n+1]$ 的值，则可以 $O(n)$ 求出 $f(k)$ 的值。

我们代入原表达式，可得

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j\ne i}^n\frac{x-j}{i-j}$$

上面的部分可以看作 $\frac{\prod _{j=1}^n(x-j)}{x-i}$，下面的部分就拆成两部分阶乘即可。