Simfonija 题解

Simfonija 题解

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题意

给定两个长度为 $n$ 的数组 $A$ 和 $B$，你可以给 $A$ 数组中的所有元素加上 $X$（这里 $X$ 应该能是负数），并修改不超过 $K$ 个元素，使得下列代数式最小：

$$\sum _{i=1}^n|A_i-B_i|$$

思路

首先我们可以考虑 $K=0$ 的情况。因为是让差最小，所以我们并不关心 $A_i$ 和 $B_i$ 的值，只关心他们的差值即可。我们令 $d_i$ 表示 $B_i-A_i$。如果没有 $X$，那么最后答案可以分为三部分：$d_i<0$，$d_i=0$，$d_i>0$。这时候，如果我们将 $d_i$ 排序，会发现其值呈阶梯状分布，如图：

我们发现，答案就是这些黑线覆盖的面积。（想象一下从每一条黑线两侧延伸下来两条边，形成若干个矩形）

现在我们来考虑 $X$。我们发现，给 $A$ 加上 $X$ 相当于在上下平移这条红线，即 $0$ 所在的位置。我们来考虑平移时面积的变化 ：

假如红线现在向上平移，设绿色面积为 $s_1$，蓝色面积为 $s_2$，两条黑线 $d_1$ 与 $d_2$ 交界处为 $mid$，我们发现，由于 $mid$ 偏左，故向上平移时，左侧面积的增加量要小于右侧面积的减少量，所以向上平移答案会更优；同理，如果 $mid$ 偏右，结果相反。不难想到，$mid$，也就是 $0$ 值的位置，应该位于一个靠中间的位置。而这个位置就是中位数所在的位置。

但是我们还有 $K$ 个数可以改动。显然，每次改动一定是让某个 $B_i$ 等于 $A_i$，也就是让 $d_i$ 为 $0$。另一个显然的事实是，无论 $mid$ 选在哪里，需要改动的 $d_i$ 一定是左右两侧连续的几个。那么，我们可以枚举左侧选 $i$ 个，那么右侧就是 $K-i$ 个。每次的中位数是单调不减的。我们只需要处理好每次改变 $0$ 值点后答案的变化即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+100;
const int M = 2e6+100, del = 2000000; 
inline int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') {x = x*10+ch-48, ch = getchar();}
	return x * f;
}
 
int n, K;
int a[N], b[N], d[N];
int e[N];
int ed[N];
int id[M<<1], idx;
int main(){
// 	freopen("simfonija.in", "r", stdin);
// 	freopen("simfonija.out", "w", stdout);
	n = read(), K = read();
	for(int i = 1; i<=n; ++i){
		a[i] = read();
	}
	for(int i = 1; i<=n; ++i){
		b[i] = read();
	}
	for(int i = 1; i<=n; ++i){
		d[i] = b[i] - a[i];
	}
	sort(d+1, d+n+1);
	for(int i = 1; i<=n; ++i){
		if(i == n || d[i+1]!=d[i]){
			id[d[i]+del] = ++idx;
			ed[idx] = i;  
		}//预处理每段黑边的右端点。
	}
	int len = (n+1-K)/2;
	int X = d[len];
	long long ans = 0;
	for(int i = 1; i<=(n-K); ++i){
		ans+=abs(d[i]-X);
	}//左侧不选的答案
	int lst = X;
	long long ret = ans;
	for(int i = 1; i<=K; ++i){
		int nX = d[i+len];
		ans+= abs(d[n-K+i]-lst);//加上右侧弃选后增加的答案
		ans-= abs(d[i]-lst);//减去左侧选后减少的答案
		if(nX != lst){//如果中位数有变化，则 0 值线升高，要处理面积变化。
			ans-=(1ll*((n-K+i)-ed[id[lst+del]]) * (nX-lst));
			ans+=(1ll*(nX-lst)*(ed[id[lst+del]] - i));
			lst = nX;
		}
		ret = min(ret, ans);//答案取最小的
	}
	printf("%lld\n", ret);
	return 0;
}