组合数学相关

组合数学相关

约定：无特殊说明，以下字母所代表的数均为非负整数。

一些符合及其含义

• $n!:=1\times 2\times 3\times \dots \times n$，特别地， $0!=1$
• $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，表示 $n$ 个数无顺序选出 $m$ 个数的方案数，称作组合数。
• $[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}]$ a.k.a $s(n,m)$, $s_u(n,m)$ 称做第一类（无符号）斯特林数，即 $n$ 个数排成 $m$ 个圆排列的方案数。
• $\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\}$ a.k.a $S(n,m)$ 称做第二类斯特林数，即 $n$ 个数分成 $m$ 个非空集合的方案数。
• $x^{\overline{n}}:=x(x+1)(x+2)\dots (x+n-1)$。称做 $x$ 的 $n$ 次上升幂。
• $x^{\underset{―}{n}}:=x(x-1)(x-2)\dots (x-n+1)$ 称做 $x$ 的 $n$ 次下降幂。

常用公式

• 二项式定理：$ n \in \mathbb{N} , (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k }x^ky $。
• 广义二项式定理：$|x|<1,\alpha \in \mathbb{R}$，则 $(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})x^k$。这里 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})$ 定义为 $\frac{{\alpha }^{\underset{―}{k}}}{k!}$。 $|x|\ge 1$ 时，右侧幂级数不一定收敛。
• 平面图欧拉公式：令 $R,V,E$ 表示平面图的区域树，点数，边数，则 $R+V-E=2$。
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