组合数学相关

组合数学相关

约定：无特殊说明，以下字母所代表的数均为非负整数。

一些符合及其含义

• \(n!:= 1 \times 2 \times 3 \times … \times n\)，特别地， \(0!=1\)
• $ \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} $，表示 \(n\) 个数无顺序选出 \(m\) 个数的方案数，称作组合数。
• $ n \brack m $ a.k.a $ s(n, m) $, $ s_u(n, m) $ 称做第一类（无符号）斯特林数，即 \(n\) 个数排成 \(m\) 个圆排列的方案数。
• $ n \brace m $ a.k.a $ S(n, m) $ 称做第二类斯特林数，即 \(n\) 个数分成 \(m\) 个非空集合的方案数。
• $ x^{\bar{n}} := x(x+1)(x+2)…(x+n-1) $。称做 \(x\) 的 \(n\) 次上升幂。
• $ x^{\underline{n}} := x(x-1)(x-2)…(x-n+1) $ 称做 \(x\) 的 \(n\) 次下降幂。

常用公式

• 二项式定理：$ n \in \mathbb{N} , (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k }x^ky $。
• 广义二项式定理：$ \lvert x \rvert < 1, \alpha \in \mathbb{R}$，则 $ (1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty}{\alpha \choose k}x^k $。这里 $ \alpha \choose k $ 定义为 $ \frac{\alpha^{ \underline{k}}}{k!} $。 $ \lvert x \rvert \geq 1$ 时，右侧幂级数不一定收敛。
• 平面图欧拉公式：令 \(R, V, E\) 表示平面图的区域树，点数，边数，则 $R+V-E = 2 $。
  持续施工，咕咕咕……