从决策单调性到四边形不等式

今天上课浅学了一下，还是有点懵，于是就准备用这篇博文整理一下。
本篇文章主要讨论四边形不等式在有关 1D/1D 类问题中的应用，区间类暂不涉及。
参考：OI-Wiki

引入

我们为什么需要决策单调性？
我们之前常见的 dp 优化有很多，如单调队列，如斜率优化，如矩阵优化，等等。但是，这些优化都无法解决一些更普遍的方程，这类方程形如（这里以最小值为例）：

f_{i} = min f_{j} + w (j, i) (1 \leq j < i)

或者，我们改写为区间的形式，那么就是：

f_{r} = min f_{l} + w (l, r) (1 \leq l < r)

这里的 $w (l, r)$ 是一个关于 $l, r$ 的二元函数，当 $w (j, i)$ 满足 $k * g (j) + c (i) + c (j)$ 的时候，我们可以考虑斜率优化；但如果这个式子并不是这么优美，我们就似乎有点无从下手了，这时候就可以考虑决策单调性了。注意，并不是所有题目都存在决策单调性的。

四边形不等式

定义

若 $\forall l_{1} \leq l_{2} \leq r_{1} \leq r_{2}$ ，均满足 $w (l_{1}, r_{1}) + w (l_{2}, r_{2}) \leq w (l_{1}, r_{2}) + w (l_{2}, r_{1})$ ，则称函数 $w$ 满足四边形不等式（简记为“交叉小于包含”）。若等号永远成立，则称函数 $w$ 满足四边形恒等式。

性质（这里只列出两个我认为会用到的）

若函数 $w_{1}, w_{2}$ 均满足四边形不等式，则对于 $\forall c_{1}, c_{2} \geq 0$ ，函数 $c_{1} w_{1} + c_{2} w_{2}$ 也满足四边形不等式。
若存在函数 $f (x), g (x)$ ，使得 $w (l, r) = f (r) - g (l)$ ，则函数 $w$ 满足四边形恒等式。
可以通过定义证明。

决策单调性

判定

那么，四边形不等式是如何应用到决策单调性上的呢？
结论：如果函数 $w$ 满足四边形不等式，则 $f_{r} = min f_{l} + w (l, r)$ 满足决策单调性。
简要证明：
我们不妨设 $l_{1}, l_{2}$ 为两个决策点，且 $l_{1} < l_{2}$ ，当前要决策的点为 $r_{1} ， r_{2}$ ，同样， $r_{1} < r_{2}$ 。如果不满足决策单调性，当且仅当 $f_{r_{1}} + w (l_{2}, r_{1}) \leq f_{r_{1}} + w (l_{1}, r_{1})$ ，且 $f_{r_{2}} + w (l_{1}, r_{2}) \leq f_{r_{2}} + w (l_{2}, r_{2})$
我们令不等式上下相加、消元，就得到 $w (l_{2}, r_{1}) + w (l_{1}, r_{2}) \leq w (l_{1}, r_{1}) + w (l_{2}, r_{2})$ ，与条件“满足四边形不等式”相矛盾。
有了这个性质，我们就可以搞出来一个题是否具有决策单调性了。

求解

光能推出来决策单调性还不够，我们要去用这个性质。
这里给出递归求解的过程。
我们考虑分治，令 $l q, r q$ 为我们处理的区间， $l, r$ 为最优决策点所在的区间，每次都暴力找出来处理区间的中点所对应的最优决策点，然后就可以缩小其他点的决策范围了。递归的层数只有 $\log n$ 层，所以暴力枚举的每个点都只会被枚举到 $\log n$ 次，因此复杂度是 $n \log n$ 级别的。
代码：

 void solve1(int ql, int qr, int l, int r){//处理的dp区间与最优决策点所在区间 
	if(ql>qr) return;
	int mid = (ql+qr)>>1;
	int pos = 0;
	int limi = min(mid-1, r);
	for(int i = l; i<=limi; ++i){
		double tmp = W1(i, mid);
		if(tmp>f[mid]) f[mid] = tmp, pos = i;
	}
	solve1(ql, mid-1, l, pos);
	solve1(mid+1, qr, pos, r);
}

例题

Lightning Conductor
首先这和高中一类数学题很像：恒成立问题。于是我们自然而然想到要分离变量，于是有 $p \geq - a_{i} + a_{j} + \sqrt{| i - j |}$ ，于是题目变成我们去求后面部分的最大值。绝对值不好处理，我们分开来看。这里只讨论 $i > j$ 的情形。
由四边形不等式的性质，我们发现 $w (i, j) = - a_{i} + a_{j} + \sqrt{i - j}$ 符合四边形不等式，于是就可以利用上述方法直接 dp 即可。注意这里不能一开始就取整。
代码：

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5+10;
 
inline int read(){
	int x = 0; char ch = getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9') ch = getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') x = x*10+ch-48, ch = getchar();
	return x;
} 
 
int a[N], n;
double W1(int l, int r){
	return a[l]-a[r]+1.0*sqrt(r-l);
}
double W2(int r, int l){
	return a[r]-a[l]+1.0*sqrt(r-l);
}
 
double f[N], g[N];
void solve1(int ql, int qr, int l, int r){//处理的dp区间与最优决策点所在区间 
	if(ql>qr) return;
	int mid = (ql+qr)>>1;
	int pos = 0;
	int limi = min(mid-1, r);
	for(int i = l; i<=limi; ++i){
		double tmp = W1(i, mid);
		if(tmp>f[mid]) f[mid] = tmp, pos = i;
	}
	solve1(ql, mid-1, l, pos);
	solve1(mid+1, qr, pos, r);
}	
void solve2(int ql, int qr, int l, int r){
	if(ql>qr) return;
	int mid = (ql+qr)>>1;
	int pos = 0;
	int limi = max(mid+1, l);
	for(int i = r; i>=limi; --i){
		double tmp = W2(i, mid);
		if(tmp>g[mid]) g[mid] = tmp, pos = i;
	}
	solve2(mid+1, qr, pos, r);
	solve2(ql, mid-1, l, pos);
}
int main(){
	n = read();
	for(int i = 1; i<=n; ++i){
		a[i] = read();
	}
	solve1(1, n, 1, n);
	solve2(1, n, 1, n);
	for(int i = 1; i<=n; ++i){
		printf("%d\n", (int)ceil(max(f[i], g[i])));
	}
	return 0;
}

posted @ 2023-07-12 20:30 霜木_Atomic 阅读(28) 评论(0) 编辑收藏举报

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从决策单调性到四边形不等式

引入
四边形不等式

定义
性质（这里只列出两个我认为会用到的）

决策单调性

判定
求解

例题

霜木的狐狸窝

让回忆与泪水随风散去，笑着哭完这一生。

念两句诗

从决策单调性到四边形不等式

从决策单调性到四边形不等式

引入

四边形不等式

定义

性质（这里只列出两个我认为会用到的）

决策单调性

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	void solve1(int ql, int qr, int l, int r){//处理的dp区间与最优决策点所在区间
	if(ql>qr) return;
	int mid = (ql+qr)>>1;
	int pos = 0;
	int limi = min(mid-1, r);
	for(int i = l; i<=limi; ++i){
	double tmp = W1(i, mid);
	if(tmp>f[mid]) f[mid] = tmp, pos = i;
	}
	solve1(ql, mid-1, l, pos);
	solve1(mid+1, qr, pos, r);
	}

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	const int N = 5e5+10;

	inline int read(){
	int x = 0; char ch = getchar();
	while(ch<'0' \|\| ch>'9') ch = getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') x = x*10+ch-48, ch = getchar();
	return x;
	}

	int a[N], n;
	double W1(int l, int r){
	return a[l]-a[r]+1.0*sqrt(r-l);
	}
	double W2(int r, int l){
	return a[r]-a[l]+1.0*sqrt(r-l);
	}

	double f[N], g[N];
	void solve1(int ql, int qr, int l, int r){//处理的dp区间与最优决策点所在区间
	if(ql>qr) return;
	int mid = (ql+qr)>>1;
	int pos = 0;
	int limi = min(mid-1, r);
	for(int i = l; i<=limi; ++i){
	double tmp = W1(i, mid);
	if(tmp>f[mid]) f[mid] = tmp, pos = i;
	}
	solve1(ql, mid-1, l, pos);
	solve1(mid+1, qr, pos, r);
	}
	void solve2(int ql, int qr, int l, int r){
	if(ql>qr) return;
	int mid = (ql+qr)>>1;
	int pos = 0;
	int limi = max(mid+1, l);
	for(int i = r; i>=limi; --i){
	double tmp = W2(i, mid);
	if(tmp>g[mid]) g[mid] = tmp, pos = i;
	}
	solve2(mid+1, qr, pos, r);
	solve2(ql, mid-1, l, pos);
	}
	int main(){
	n = read();
	for(int i = 1; i<=n; ++i){
	a[i] = read();
	}
	solve1(1, n, 1, n);
	solve2(1, n, 1, n);
	for(int i = 1; i<=n; ++i){
	printf("%d\n", (int)ceil(max(f[i], g[i])));
	}
	return 0;
	}