[ABC114D] 756 题解

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题意

给定一个数 $n$，求 $n!$ 的因数中，刚好有 $75$ 个因数的数的个数。

分析

首先有这样一个性质，对于一个数 $a$，我们将其分解质因数，即

$$a=\prod _{i=1}^n{p}_i^{k_i}$$

那么，$a$ 的因数个数就是

$$sum=\prod _{i=1}^n(k_i+1)$$

简单证明一下，对于第 $i$ 个质因数，可以选 $[0,k_i]$ 个，所以最终能组合出来的不同因数就是 $sum$ 个。

题干要求因数个数为 $75$ 的因数，首先考虑什么样的数有 $75$ 个因数——没错，我们将 $75$ 分解因数，发现

$75=5\times 5\times 3$，则 ​$a=p_1^4{p}_2^4{p}_3^2$；

同理，

$75=5\times 15$，$a=p_1^4{p}_2^{14}$

$75=25\times 3$，$a=p_1^{24}{p}_2^2$

$75=75\times 1$，$a=p_1^{74}$

因为 $n!$ 的质因数包括了其所有因数的质因数，而每种质因数组合只能确定一个数，故我们可以直接考虑每种情况如何构造出 $a$。我们令 $s_i$ 表示，个数大于等于 $i$ 的质因数个数。因为多余的数没有用，所以这里我们直接考虑大于等于的数。

那么，对于第一种情况，对答案的贡献为 $C_{s_4}^2\ast (s_2-2)$；

同理，第二种的贡献 $s_{14}\ast (s_4-1)$；

第三种的贡献 $s_{24}\ast (s_2-1)$；

第四种的贡献 $s_{75}$。

最后看数据范围。 $n$ 说小不小，$100!$ 肯定不是直接求出来；然后 $n$ 又说大不大，可以考虑对 $1$ 到 $n$ 的数分解质因数，那么 $n!$ 的质因数分解就是对 $[1,n]$ 的数的质因数的指数做前缀和。最后的答案就是将以上四种贡献加起来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 305;
int n;
int a[105][105];
bool vis[105];
int pr[105], tot;
void init(){
	for(int i = 2; i<=100; i++){
		if(vis[i]) continue;
		vis[i] = 1, pr[++tot] = i;
		for(int j = i; j<=100; j+=i){
			vis[j] = 1;
		}
	}//数据范围很小很小所以简单筛一下质数就行。
	for(int i = 2; i<=100; i++){
		int tmp = i;
		for(int j = 1; j<=tot; j++){
			if(tmp%pr[j] == 0){
				while(tmp%pr[j] == 0){
					tmp/=pr[j];
					a[i][j]++;//对1~100内的数分解质因数。
				}
			}
		}
	}
}
int f[N];
int sum[N]; 
int ts[N];
int main(){
	scanf("%d", &n);
	init();
	for(int i = 1; i<=n; i++){
		for(int j = 1; j<=tot; j++){
			sum[j]+=a[i][j];//求n!因数分解后质因数的指数。
		}
	}
	int ans = 0;
	int L = 0, R = 0, Y = 0;
	sort(sum+1, sum+1+tot, greater<int>());
	for(int i = 1; i<=tot; i++){
		if(sum[i]>=24){
			ts[24]++;
		}
		if(sum[i]>=14){
			ts[14]++;
		}
		if(sum[i]>=74){
			ts[74]++;
		}
		if(sum[i]>=4){
			ts[4]++;
		}
		if(sum[i]>=2){
			ts[2]++;
		}
	} 
	if(ts[74]){
		ans+=ts[74];
	}
	if(ts[24]){
		ans+=ts[24]*(ts[2]-1);
	}
	if(ts[14]){
		ans+=(ts[14]*(ts[4]-1));
	}
	if(ts[4]){
		ans+=(ts[4]*(ts[4]-1)/2*(ts[2]-2));
	}
 
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}