左偏树（可并堆）学习笔记

引入：堆是一种很常用的数据结构，可以在 $ O_{log(n)} $的复杂度内进行插入，以维护最大/最小值。但是，如果我们将两个堆合并，即使是启发式合并，时间复杂度也高达 $ O_{(size_a \times log(size_b))} $，而这是我们所不想看到的。那么，有没有一种更好的解决方案呢？

下面来引入一种新的数据结构——左偏树。顾名思义，这是一颗树，但是向左偏。首先定义一个 \(dis_u\)，表示 \(u\) 到最近的非满节点（即没有左儿子或右儿子的节点）的距离。

而左偏的性质，若设左儿子右儿子分别为 \(ls\)、\(rs\)，则在这棵树上，对于每个结点，都有 \(dis_{ls} \geq dis_{rs}\)。显然，当 \(dis\) 为定值时，如果令这棵子树结点最多，那么这棵子树是一棵满二叉树。所以，对于一个大小为 \(n\) 的子树 \(u\)，有 \(2^{dis_u+1}-1 \ge n\)。

利用这一性质，我们可以进行合并操作。合并时，只需要维护堆性质和左偏树性质即可。

int fa[N], ls[N], rs[N], val[N], dis[N];
int find(int x){
	if(fa[x] ^ x){
		fa[x] = find(fa[x]);	
	}
	return fa[x];
}
int merge(int x, int y){
	if(!x || !y){
		return x+y;
	}
	if(val[x] > val[y]){
		swap(x, y);
	}
	rs[x] = merge(rs[x], y), fa[rs[x]] = x;
	if(dis[ls[x]]<dis[rs[x]]) swap(ls[x], rs[x]);
	dis[x] = dis[rs[x]]+1;
	return x;
}

因为每次往下走一层，\(dis\) 会减少 \(1\)，而根据性质，\(dis\) 不会超过 \(log(size+1)\)，因此，最坏情况（每次都交换）的复杂度为 \(O_{(log(m) + log(n))}\)，其中 \(m\)、\(n\)为合并的两棵子树的大小。

如何删除堆顶元素呢？只需要合并左右儿子。

void del(int x){
	val[x] = -1 ,fa[ls[x]] = ls[x], fa[rs[x]] = rs[x];
	fa[x] = merge(ls[x], rs[x]);
}