RSA算法
第一步:随机选择两个不相等的质数p和q
第二步:计算p和q的乘积n
n = p * q
第三步:计算n的欧拉函数φ(n)
φ(n) = (p-1)(q-1)
第四步:随机选择一个整数e,条件是1<e<φ(n),且e与φ(n)互质。
在实际应用中,常常选择65537
第五步:计算e对于φ(n)的模反元素d
所谓"模反元素"指的是:有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1
ed ≡ 1 (mod φ (n)) 等价于 ed - 1 = kφ(n)
找模反元素d实际上是对下面这个二元一次方程求解
ex + φ(n)y = 1
第六步:将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥
第七步:加密和解密
加密要用公钥(n,e)
加密信息m必须是整数(字符串可以取ASCII值或unicode值),且m必须小于n
m^e ≡ c (mod n)
解密要用私钥(n,d)
c^d ≡ m (mod n)
公钥(n,e)只能加密小于n的整数m,那么如果加密大于n的整数,该怎么办?
- 把长信息分割成若干段短信息,每段分别加密
- 先选择一种"对称性加密算法"(比如DES),用这种算法的密钥加密信息,再用RSA公钥加密DES密钥
RSA算法的可靠性
密钥生成步骤中,一共出现六个数字:
p
q
n -- n的长度(二进制长度)就是密钥长度
φ(n)
e
d
这六个数字之中,公钥用到了两个(n和e),其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d,因为n和d组成了私钥,一旦d泄露,就等于私钥泄露
是否可以在已知n和e的情况下,推导出d?
(1)ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n),才能算出d。
(2)φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q,才能算出φ(n)。
(3)n=pq。只有将n因数分解,才能算出p和q。
结论:如果n可以被因数分解,d就可以算出,也就意味着私钥被破解,但大整数的因素分解,是一件非常困难的事情。目前,除了暴力破解,还没有发现别的有效方法。所以,只要密钥长度足够长,用RSA加密的信息实际上是不能被破解的
案例:
参与湖北省“奇安信杯”网络安全大赛中所遇到的一道Cropto题。
题目:
p+q:
326429100407681651814978442415826213864753565034919374282004148849764531414964129530662174521568050093736341197400405816551402307458686750141836996345723514698979514133066389538988520826440776264241138888155090851605191090286605183976443204444854546781116840786281855819689375353337207819361769484061133586660
(p+1)(q+1):
26601616557971867831128918184476970808722471200861600741488181559976427915212193001812160532906370924454473038671991616741424706794741682437728013348910646937734672343325523407437596920797247711273378236903138971315823251358525257853681659038646150834388504990678755552658405772625078429891153401221091704935464031276762725209220275197422069811202440482709667987828399235771854454331605660739185369563297937712412914621262089799368586352843414856752338979163598254668715003106493342377951882955338211218066635494610164992383277776336257215001515405312235576928828485922034700150519853591032361405975195251746299510720
c:
24831377919906161196266552704492935537768087456188711284519872226691826290351027606307936414989585764319104737516021733938210516424254235349369088344349700976416957839221585194510124601438798302079231278339823353520868327987552051471031155633165987892206927171527428590536203275545528900845222038924459888879261986663709510987273937159905675940592632023428129764650249246182611973968609631056274792336171105433760493214971141615401120748113420469659787315651721605227003326305005720436114240966565179896456348773794946970503274768701856591123183247406604013805700201562056023223765073732621940021232679124486597812994
e:
65537
python代码
import libnum
a = 26601616557971867831128918184476970808722471200861600741488181559976427915212193001812160532906370924454473038671991616741424706794741682437728013348910646937734672343325523407437596920797247711273378236903138971315823251358525257853681659038646150834388504990678755552658405772625078429891153401221091704935464031276762725209220275197422069811202440482709667987828399235771854454331605660739185369563297937712412914621262089799368586352843414856752338979163598254668715003106493342377951882955338211218066635494610164992383277776336257215001515405312235576928828485922034700150519853591032361405975195251746299510720
b = 326429100407681651814978442415826213864753565034919374282004148849764531414964129530662174521568050093736341197400405816551402307458686750141836996345723514698979514133066389538988520826440776264241138888155090851605191090286605183976443204444854546781116840786281855819689375353337207819361769484061133586660
c = 24831377919906161196266552704492935537768087456188711284519872226691826290351027606307936414989585764319104737516021733938210516424254235349369088344349700976416957839221585194510124601438798302079231278339823353520868327987552051471031155633165987892206927171527428590536203275545528900845222038924459888879261986663709510987273937159905675940592632023428129764650249246182611973968609631056274792336171105433760493214971141615401120748113420469659787315651721605227003326305005720436114240966565179896456348773794946970503274768701856591123183247406604013805700201562056023223765073732621940021232679124486597812994
e = 65537
n = a - b -1
phi_n = n - b + 1
d = libnum.invmod(e,phi_n)
m = pow(c,d,n)
print(m)
print(libnum.n2s(int(m)).decode())
结果为:flag{e2df5b739abba07ae93403d3915228c9}
扩展:
libnum库常用的方法
数字型(不论是十六进制还是十进制)与字符串之间的转换
libnum.s2n(s)
libnum.n2s(n) 不用在意十六进制的位数是否为偶数
二进制与字符串之间的转换
libnum.b2s(b)
libnum.s2b(s)
数字转二进制
s2b(n2s(n))
质数&因数分解
生成质数 libnum.generate_prime(1024)
因数分解 libnum.factorize(1024)
本文来自博客园,作者:未来的你!,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/frost-descent/p/16651057.html