高等数学--基础复习1到8章

合集 - 考研数学(6)

1.高数重难点知识2024-09-132.考研数学概念性问题2024-09-133.高等数学--基础复习9到12章P1212024-09-134.高数易错题，不信来试试2024-09-13

5.高等数学--基础复习1到8章2024-09-13

6.考研常识2024-09-13

收起

微积分研究的主要对象、思想方法 & 导数与积分的本质：

高等数学的特征：

怎么学好高等数学：
培养抽象思维、逻辑推理和熟练的计算能力

存在与不存在的关系，3个字就是不存在

对于复合函数求极限：
一定要注意，内部函数不能等于那个‘极限’

连续与间断：

对于1的无穷次方的求法，一般都是配凑成（1+0）的无穷次方，但有点麻烦，所以这里归纳步骤：

导数概念：

复合函数求导：遇到根号比较容易犯错，要把根号下的当成一个整体才好做
基本上都要变成初等函数才好求导

高阶函数求导：一是归纳总结；二是利用uv的n次公式，类似于（a+b）的平方

利用公式求高阶导数需要记住一些：

参数求二阶导：之前一直是硬推，但这里讲得好，右边是对t（x）进行求导，逻辑就很严密，记得更清楚

参数求导、隐函数求导，相关变化率：

证明拉格朗日定理的关键：找出一个函数，使其导数为0

柯西中值定理的证明；构造一个容易找的辅助函数

总结：罗尔定理和拉格朗日定理是比较重要的，相较于柯西中值定理

洛必达法则的使用技巧和注意点：

对注意点强调的内容：

2种不同余项的泰勒公式，条件不同，作用不同：一个用于微观，一个用于整体

函数单调性和凹凸性：

连续函数的极值，及第一充分条件、第二充分条件。最值：

函数图形的描绘：函数（定义域、奇偶性，周期性）、一阶导（增减性）、二阶导（凹凸性、拐点）

中间少了曲率和不定积分的概念

反常积分：积分区域是无穷，但其实还是按照正常的莱布尼兹公式计算

瑕积分：被积函数某点取不到，很容易忘了那个没有定义的点

不定积分的第一类和第二类换元积分：

定积分:

定积分的应用：求面积、体积、弧长：

7. 微分方程 常系数齐次线性微分方程

微分方程的通解：假如要求得函数的导数为n阶；则求出的y中含有n个常数表示符，那么这个y就是通解
仅限这里：可以写成这样；但为了防止误判，一般还是加上绝对值符号

但最终结果还是要化成单纯的常数符号C的：

1.可分离变量的微分方程：就是左边是要求的函数y，且都跟y有关，右边都是没跟y有关系的；分好左右变后，再积分即可，别忘了常数C

2.齐次方程：图中解释的苟清楚了，但要注意的是，一定要出现y/x这样的搭配，且只能这样的搭配
可谁知道，题目出的是不是齐次呢？
判断条件：关于x,y的次数相同，都是2次项，或其他几次项

3.可化为齐次方程：没听懂，也不知道考不考
4.齐次线性微分方程：

伯努利方程：令t=y的-a次方，左边式子同时求导，替换原式的导数（联想到凑微分的过程），就是一般一阶微分方程了，求出后，最终是yx的关系就行了

可降阶的高阶微分方程：书上有。

常系数齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程（公式有点难记）：

如何判断某个函数是否可微：

可微、可导、连续的重要推理关系

多元函数---偏微分：

【八-1】向量及线性运算
【八-2】空间直角坐标系
【八-3】向量模 两点距离
【八-4】方向角方向余弦
方向余弦：（cosA,cosB,cosR）
【八-5】数量积
就是最开始学到，向量的内积
【八-6】向量积
向量的叉乘

判断2个向量垂直：用数量积；
判断2个向量平行：用向量积
【八-7】平面及其方程
点法式（一般利用向量积获取法向量），法向量*平面的2个点的差；

【八-8】平面的一般方程
Ax+by+cz=D;如果A==0，则平面平行与x轴，类似一个太阳能板的面

总结:平面只要包含x y z 轴中的一个 立即推 d=0，且x y z 对应的系数也为0

截距式方程

【八-9】两平面的夹角
是锐角；0-90度；所以一般用余弦cos，
法线是Ax+By+Cz=0;
点法式没有D的，一般式才有

空间上一点到某平面的距离（跟直线类似）：

推导过程：

【八-10】空间直线及其方程
空间直线的3种表示方式

直线的方向向量的正负无所谓，因为本来就是有2个方向，所以会有正负之分
平面的法向量一定垂直于平面的所有向量，包括空间的直线

【八-11】两直线的夹角&直线与平面的夹角
两直线的去锐角啊，线与平面的也是锐角啊

线与平面的夹角：

这里法向量是依据点法式方程展开成一般形式直接确定的 法向量就是xyz的系数 不懂可以看一下点法式
【八-12】杂例
直线的2种表示方式的转换（虽然有3种表示方式，但本质是一样的）：

2022-11-26 21:35:23 星期六

平面束：用的应该不多
一个有意思的例题：

【八-13】曲面及其方程
球面的一般方程及其形成条件（书上仅给了一般方程，但条件并未给）：

【八-14】旋转曲面
立体直角坐标系里,一条仅在一个平面（总共就3个平面）的直线，绕轴旋转形成的旋转曲面：

例题：

【八-15】柱面
母线；准线

【八-16】二次曲面
椭圆锥面（经常考到）：

对x,y的伸缩：

单、双页双曲面，没细讲

椭圆抛物线&椭圆锥面：

【八-17】空间曲线及其方程
空间曲线的第一种表示方式：

第二种方式：参数方程：

空间直线、曲线的投影：就是消去z
注意，z=0;

如例题：

高数：P41

不等式：P7