高中数学结论个人收录

圆锥曲线

椭圆

第二定义

动点 $M(x_0,y_0)$ 到定点 $F(c,0)$ 和定直线 $x=\frac{a^2}{c}$ 的距离之比为离心率 $\frac{c}{a}$，则 $M$ 点轨迹为椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$。

第三定义

动点 $M(x_0,y_0)$ 分别与两定点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 所成直线斜率有 $k_{AM}·k_{BM}=-\frac{b^2}{a^2}(a>b)$，则 $M$ 点轨迹为椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$。

焦半径公式

对于离心率为 $e$ 的椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$ 其上任意一点 $M(x_0,y_0)$,其到左右焦点距离分别有 $|MF_1|=a+ex_0,|MF_2|=a-ex_0\text{(左加右减，上减下加)}$。

双曲线

第二定义

动点 $M(x_0,y_0)$ 到定点 $F(c,0)$ 和定直线 $x=\frac{a^2}{c}$ 的距离之比为离心率 $\frac{c}{a}$，则 $M$ 点轨迹为双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$。

第三定义

动点 $M(x_0,y_0)$ 分别与两定点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 所成直线斜率有 $k_{AM}·k_{BM}=\frac{b^2}{a^2}(a≠b)$，则 $M$ 点轨迹为双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$。

焦半径公式

对于离心率为 $e$ 的双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$ 其上任意一点 $M(x_0,y_0)$,其到左右焦点距离分别有 $|MF_1|=|a+ex_0|,|MF_2|=|a-ex_0|\text{(左加右减，上减下加)}$。

抛物线

焦半径公式及推论

对于抛物线 $C:y^2=2px\text{或}x^2=2py$，有直线 $l:y=kx-\frac{pk}{2}$ 与 $C$ 交于 $M(x_1,y_1),N(x_1,y_1)$ 两点，其中$|MF|>|NF|$。

若 $C$ 开口向左，则 $|MF|=\frac{p}{2}+x_1$。

若 $C$ 开口向右，则 $|MF|=\frac{p}{2}-x_1$。

若 $C$ 开口向上，则 $|MF|=\frac{p}{2}+y_1$。

若 $C$ 开口向下，则 $|MF|=\frac{p}{2}-y_1$。

若$θ$为直线 $l$ 倾斜角,$|MF|=\frac{p}{1- \cosθ},|NF|=\frac{p}{1+ \cosθ}$

对于线段 $MN$，则有：

$|MN|=\frac{2p}{\sin^2θ}=2p(1+\frac{1}{k^2})$

$\frac{1}{|MF|}+\frac{1}{|NF|}=2$

切线方程

对于已知方程的圆锥曲线，其过定点的切线方程即为将原方程中一半横纵坐标代换为定点的横纵坐标。

过定点 $P(x_0,y_0)$ 的椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的切线方程为 $\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$。

过定点 $P(x_0,y_0)$ 的双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的切线方程为 $\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。

过定点 $P(x_0,y_0)$ 的抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的切线方程为 $yy_0=p(x+x_0)$。

点差法

思路简述

已知圆锥曲线和与之相交的直线所过定点以及两交点的终点坐标，要求求出直线方程。则先将两交点坐标分别代入圆锥曲线方程，再将代入结果相减，利用平方差公式因式分解后即可得到直线方程。

点差法在椭圆中的应用

有椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 弦 $AB$ 上与椭圆两交点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 及其中点 $M(x_0,y_0)$，其中 $M$ 为定点。要求求出弦 $AB$ 所在直线方程。

则分别有$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1,\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$，两式相减则有 $\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0$，代入 $M$ 则有 $k=\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=-\frac{x_0b^2}{y_0a^2}$。

定比点差法

定比分点公式

对于三点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),M(x_0,y_0)$ 有 $\mathbf{AM}=\lambda\mathbf{MB},\lambda≠-1$，若 $\lambda>0$，则 $M$ 在线段 $AB$ 上；若 $-1<\lambda<0$，则 $M$ 在线段 $AB$ 反向延长线上；若 $\lambda<-1$，则 $M$ 在线段 $AB$ 延长线上。

由上则有 $(x_0-x_1,y_0-y_1)=\lambda(x_2-x_0,y_2-y_0)$。

化简后即得到 $M$ 点坐标关于 $A,B$ 两点坐标表达式，即定比分点公式：

$\left{ $$\begin{array}{c}x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}\y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\end{array}$$ \right. $

定比点差法的应用

定比点差法可用于条件中给定同一直线上向量数乘或模长比例关系，例如$\frac{|\mathbf{AP}|}{|\mathbf{PB}|}=\frac{|\mathbf{AQ}|}{|\mathbf{QB}|}$ 或 $|\mathbf{AP}||\mathbf{QB}|=|\mathbf{AQ}||\mathbf{PB}|$，要求求所在直线方程的题目，大体思路与点差法一致，代入定比分点公式即可。

例题：有椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，点 $P(4,1)$，过点 $P$ 的直线 $l$ 交椭圆与点 $A,B$， $l$ 上有一点 $Q$ 满足 $|\mathbf{AP}||\mathbf{QB}|=|\mathbf{AQ}||\mathbf{PB}|$，证明：点 $Q$ 在定直线上。

解：

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),Q(x_0,y_0)$

∵ $|\mathbf{AP}||\mathbf{QB}|=|\mathbf{AQ}||\mathbf{PB}|$，即 $\frac{|\mathbf{AP}|}{|\mathbf{PB}|}=\frac{|\mathbf{AQ}|}{|\mathbf{QB}|}$

∴ 设 $\frac{|\mathbf{AP}|}{|\mathbf{PB}|}=\frac{|\mathbf{AQ}|}{|\mathbf{QB}|}=\lambda,\lambda≠-1$

∴由定比分点公式有 $\left\{\begin{array}{c}4=\frac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda}\\1=\frac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda}\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{c}x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}\\y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\end{array}\right.$

将上述两式分别对应相乘，由平方差公式得 $\left\{\begin{array}{c}4x_0=\frac{x_1^2-\lambda^2 x_2^2}{1-\lambda^2}\\y_0=\frac{y_1^2-\lambda^2 y_2^@}{1-\lambda^2}\end{array}\right.$

∴将第二个式子变换得到 $\left\{\begin{array}{c}4x_0=\frac{x_1^2-\lambda^2 x_2^2}{1-\lambda^2}\\2y_0=\frac{2y_1^2-2\lambda^2 y_2^@}{1-\lambda^2}\end{array}\right.$

∵点 $A,B$ 在椭圆 $C$ 上

∴有 $\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{2}=1,\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{2}=1$

∴代入上式则有 $2x_0+y_0-1=0$

证毕

导数

极限求导

对于函数 $f(x)$ 上可导的一点 $x_0$，其导数有 $f'(x_0)=\lim_{Δx\rightarrow0}\frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}$。其中$Δx$ 不需要考虑正负。

若有 $\lim_{Δx\rightarrow0}\frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}≠\lim_{Δx\rightarrow0}\frac{f(x_0-Δx)-f(x_0)}{Δx}$，则 $x_0$ 不可导。

常用导函数公式及导函数运算

指对幂函数

若 $f(x)=a^x(a>0)$,则 $f'(x)=a^x\ln a$。

特别地，若 $f(x)=e^x$,则 $f'(x)=e^x$。

若 $f(x)=\log_ax(a>0\text{且}a≠1)$,则 $f'(x)=\frac{1}{x\ln a}$。

特别地,若 $f(x)=\ln x$,则 $f'(x)=\frac{1}{x}$。

若 $f(x)=x^n(n∈Q)$,则 $f'(x)=nx^{n-1}$。

若 $f(x)=\sqrt{x}$,则 $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。

若 $f(x)=\frac{1}{x}$,则 $f'(x)=-\frac{1}{-x^2}$。

三角函数

若 $f(x)=\sin x$,则 $f'(x)=\cos x$。

若 $f(x)=\cos x$,则 $f'(x)=-\sin x$。

导函数运算

运算法则

$[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)$

$[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\text{（前导后不导加后导前不导）}$

推论

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{2g^2(x)}\text{（上导下不导减下导上不导）}$

若 $f(x)=g(x)e^x$，则 $f'(x)=e^x[g'(x)+g(x)]$。

若 $f(x)=x\ln x$，则 $f'(x)=\ln x+1$。

复合函数求导

若有复合函数 $h(x)=f[g(x)]$,其导函数为 $h'(x)=f'[g(x)]·g'(x)$。、

导函数与切线问题

通用结论

函数 $f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程为 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$。