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卡方分布

Posted on 2013-04-08 20:44  Frisch' Blog  阅读(2075)  评论(0)  编辑  收藏  举报
卡方分布的基本性质
n=1的卡方分布
它的累积分布函数的定义如下:
F( x) = P {X graphic x}
 
F(v) = P\{ {z^2} \le v\} = P\{ - \sqrt v \le z \le \sqrt v \}
 
而z的概率密度函数为
\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{z^2}}}{2}}}
 
因此:
F(v) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_{ - \sqrt v }^{\sqrt v } {{e^{ - \frac{{{z^2}}}{2}}}dz}
 
因为此密度函数为偶函数
F(v) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^{\sqrt v } {{e^{ - \frac{{{z^2}}}{2}}}dz}
 
令\sqrt x = z，有dz = d({x^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}}dx
 
F(v) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^v {{x^{\frac{1}{2}}}{e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}dx}
 
显然这个式子不是闭式的形式，根据原函数定理:
\frac{d}{{dx}}[\int\limits_0^v {f(x)dx} = f(v)
 
有
F'(v) = \frac{d}{{dv}}[\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^v {{x^{\frac{1}{2}}}{e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}dx} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}.{v^{ - \frac{1}{2}}}{e^{ - \frac{v}{2}}}
 
{g_1}(x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}.{x^{ - \frac{1}{2}}}{e^{ - \frac{x}{2}}}
 
{\chi _1}的矩生成函数
根据矩生成函数的定义M(t) = E[etX] 有
{M_1}(t) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^\infty {{e^{tx}}({x^{ - \frac{1}{2}}}.{e^{ - \frac{x}{2}}})dx}= \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int\limits_0^\infty {({x^{ - \frac{1}{2}}}.{e^{ - x(t - \frac{1}{2})}})dx}
 
根据Gamma函数的定义
\Gamma (\lambda ) = \int\limits_0^\infty {{x^{\lambda - 1}}{e^{ - x}}dx}
令 x =αx 有
\int\limits_0^\infty {{x^{\lambda - 1}}{e^{ - \alpha x}}dx} = \frac{{\Gamma (\lambda )}}{{{\alpha ^\lambda }}}
* λ - 1 = -1/2, 即 λ  = 1/2
* α = (1/2 - t),
代入上式即得到:
{M_1}(t) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\frac{{\Gamma (\frac{1}{2})}}{{{{(\frac{1}{2} - t)}^{\frac{1}{2}}}}} = {(1 - 2t)^{ - \frac{1}{2}}}
 
{\chi _n}的矩生成函数
Y = X1 + X2 +  ...+ Xn
Xi之间相互独立，且服从于X ~ N(0, 1)的正态分布;
 
所以MY = [MX]n
{M_n}(t) = {[{(1 - 2t)^{ - \frac{1}{2}}}]^n}
 
{\chi _n}的概率密度函数
Gamma分布的一般定义如下:
g(x) = \frac{{\lambda {e^{ - \lambda x}}{{(\lambda x)}^{\alpha - 1}}}}{{\Gamma (\alpha )}}
 
Gamma分布的概率密度函数依赖α 和 λ两个参数，且对应的矩生成函数为:
M(t) = {(\frac{\lambda }{{\lambda - t}})^\alpha }
 
现在令λ = 1/2 和 α  = n/2  这样就得到了{\chi _n}的矩生成函数，现在将这两个参数代入Gamma分布函数中得到:
{g_n}(x) = \frac{1}{{\Gamma (\frac{n}{2}){2^{\frac{n}{2}}}}}{(x)^{\frac{n}{2} - 1}}{e^{ - \frac{x}{2}}}
 
考虑到矩生成函数的唯一性，所以上式正是λ = 1/2 和 α  = n/2的Gamma分布。
 
 
矩，众数
Gamma(λ, α)分布的均值是α/λ, 所以{\chi _n}的均值为n.
 
Gamma(λ, α)的方差为α/λ²，所以{\chi _n}的方差为2n.
 
Gamma(λ, α)的众数为(α- 1)/λ，所以{\chi _n}的众数为n - 2.
 
一些特别的情况
当n=1时，垂直渐近线
{g_1}(x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{x^{ - \frac{1}{2}}}{e^{ - \frac{x}{2}}}
 
当n=2时，为指数分布
{g_2}(x) = \frac{1}{2}{e^{ - \frac{x}{2}}}
 
卡方分布的可加性
* X~graphicn
* Y ~m
* X 和 Y相互独立
 
(X + Y)\~\chi _{n + m}^2
 
正态分布样本方差的分布
\left( {n - {\rm{ }}1} \right)S/\sigma {\rm{ }}\~\chi _{n - 1}^2
 
S{\rm{ }} = {\rm{ }}1/\left( {n - {\rm{ }}1} \right).{\Sigma _i}{({x_i} - \overline X )^2}