《西人保级路》题解

题面

题解

首先，我们定义DP的状态，$dp[i][j][s][t]$表示所有满足踢完了$i$场比赛，西班牙人一共得了$s$分而其对手一共得了$t$分，且西班牙人当前积了$j$分的可能比赛结果数。

初始值为$dp[0][0][0][0]=1$，即最开始一场比赛都没比的情况。

而最终的答案应该是$\Sigma dp[n][dog][x][y]$，之中$dog\geq m$，这表示了$n$轮比赛后,西班牙人和其对手的分数满足分别为$x,y$时，可使得这赛季西班牙人总分大于等于$m$分的所有方案总和。

接下来考虑转移方程，$dp[i][j][s][t]$可以从哪个状态得到呢？为了解决这个问题，我们要枚举第$i$轮比赛的结果。假设第$i$轮比赛的比赛结果是西班牙人得了$dog$分而它的对手得了$cat$分，那么有以下三种情况。

1、若$dog=cat$，则说明第$i$轮比赛平局了，平局积分为1分，因此此时应令$dp[i][j][s][t]+=dp[i-1][j-1][s-dog][t-cat]$。

2、若$dog<cat$，则说明第$i$轮比赛输球了，输球积分为0分，因此此时应令$dp[i][j][s][t]+=dp[i-1][j][s-dog][t-cat]$。

3、若$dog>cat$，则说明第$i$轮比赛赢球了，赢球积分为3分，因此此时应令$dp[i][j][s][t]+=dp[i-1][j-3][s-dog][t-cat]$。

至此，有了状态定义、状态转移方程、初始值，那我们就可以编写程序了，但当你写完之后点击提交按钮后，你会发现...

超时了！

接着，回看你刚刚所写的程序，你会发现，你的程序整体当中循环的大体框架应该是类似这样的：

for i in [1,n]
for j in [1,3*n]
for s in [1,x]
for t in [1,y]
for dog in [1,s]
for cat in [1,t]

经过粗略计算，这样的程序复杂度是$O(nmxyxy)=O(nmx^2y^2)$的，并且在本题数据范围下$nmx^2y^2=2.7075*10^{10}$，确实是会超时很多的。

所以我们回过头来，看看有没有什么优化的方法，我们再看一下状态转移：

1、若$dog=cat$，则说明第$i$轮比赛平局了，平局积分为1分，因此此时应令$dp[i][j][s][t]+=dp[i-1][j-1][s-dog][t-cat]$。

2、若$dog<cat$，则说明第$i$轮比赛输球了，输球积分为0分，因此此时应令$dp[i][j][s][t]+=dp[i-1][j][s-dog][t-cat]$。

3、若$dog>cat$，则说明第$i$轮比赛赢球了，赢球积分为3分，因此此时应令$dp[i][j][s][t]+=dp[i-1][j-3][s-dog][t-cat]$。

我们发现，上面的状态转移也可以写成$dp[i][j][s][t]=(\Sigma dp[i-1][j][u1][v1])+(\Sigma dp[i-1][j-1][u2][v2])+(\Sigma dp[i-1][j-3][u3][v3])$，之中$(u1,v1)$满足$s-u1<t-v1$，该不等式左侧的含义是第$i$轮西班牙人进球数，右侧是对手进球数，小于号是因为此时才满足西班牙人输了第$i$场球的限制。类似的，$u2,v2$要满足$s-u2=t-v2$；$u3,v3$要满足$s-u3>t-v3$。

那么我们举个例子来考虑一下，假设现在我想得到$dp[i][j][3][4]$的值，现在如果画出$dp[i-1][j]$这张表格的话（因为$dp[i-1][j]$固定了前两维而后两维是待定的，所以可以说$dp[i-1][j]$是一张表，表格的大小应该是$(x+1)*(y+1)$的），我们来看下该表格中合法的$u1,v1$有什么特点：

我用红色在$dp[i-1][j]$标出了所有合法的$u1,v1$，它们可以转移到$dp[i][j][3][4]$。发现是一个类似下三角的形状。

接下来画一下可以通过一场平局转移到$dp[i][j][3][4]$的状态，即画出$dp[i-1][j-1]$表。

可以看到，是一条斜线的形状。

接下来画可以通过一场赢球转移到$dp[i][j][3][4]$的状态，即画出$dp[i][j-3]$表。

可以看到，这是一个类似上三角的形状。

因此，刚刚的$dp[i][j][s][t]=(\Sigma dp[i-1][j][u1][v1])+(\Sigma dp[i-1][j-1][u2][v2])+(\Sigma dp[i-1][j-3][u3][v3])$可以重新写成$dp[i][j][s][t]=dp[i-1][j]表中的一个下三角的求和+dp[i-1][j-1]表中的一条斜线的求和+dp[i-1][j-3]表中的一个上三角的求和$。

按照这个新的式子，我们的程序伪代码可以重写为：

for i in [1,n]
for j in [1,3*n]
for s in [1,x]
for t in [1,y]
      ☆ dp[i][j][s][t]=dp[i-1][j]表中的一个下三角的求和+dp[i-1][j-1]表中的一条斜线的求和+dp[i-1][j-3]表中的一个上三角的求和

那么如果可以让☆处代码在$O(1)$的时间内执行，那么整个程序的复杂度就是$O(nmxy)$的了，可以通过此题。

为了达到$O(1)$，我们可以预处理出每张表中三个图形的求和：
令$line[i][j][u][v]$表示表格$dp[i][j]$中，从$(u,v)$处发出的向左上的一条线上的求和，那么有$line[i][j][u][v]=line[i][j][u-1][v-1]+dp[i][j][u][v]$，这样可以$O(xy)$的时间得到一张表的斜线求和。
令$up[i][j][u][v]$表示表格$dp[i][j]$中，以$(u,v)$处作为右下角的一个下三角形的求和，那么有$up[i][j][u][v]=up[i][j][u][v-1]+line[i][j][u][v]$，这样可以$O(xy)$的时间得到一张表的下三角求和。
令$down[i][j][u][v]$表示表格$dp[i][j]$中，以$(u,v)$处作为右下角的一个上三角形的求和，那么有$down[i][j][u][v]=down[i][j][u-1][v]+line[i][j][u][v]$，这样可以$O(xy)$的时间得到一张表的上三角求和。

因为一共有$nm$张表需要处理，所以上述预处理过程总时间也是$O(nmxy)$，因此，程序执行的总时间就是$O( 预处理的nmxy + 计算DP值的nmxy)=O(nmxy)$，可以在规定时间内通过此题。

至此，就可以写出不超时的代码了，为了节省空间，还可以压缩到上述所有数组的第一维，下面的示例代码就压缩掉了$[i]$所在那一维。

那么下面来看示例代码。

完整代码

注：下面rep是在第三行定义的宏

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for(int i=a;i<=n;i++)
int n,m,x,y;
const int mod=998244353; 
// dp([i])[j][s][t]
const int mx=38*3;
int dp[120][52][52];
int line[120][52][52],up[120][52][52],down[120][52][52];
// line: 一道左上方向的斜线上的求和 ;up: 一个上三角形状部分的求和 ;down: 一个下三角形状部分的求和 
int main(){
	cin>>n>>m>>x>>y;
	dp[0][0][0]=1;
	rep(i,1,n){
		// 存储i-1 轮后的数据 
		rep(j,0,mx){
			rep(u,0,x)	line[j][u][0]=down[j][u][0]=dp[j][u][0];
			rep(v,0,y)	line[j][0][v]=up[j][0][v]=dp[j][0][v];
			rep(u,1,x){
				rep(v,1,y){
					line[j][u][v]=(line[j][u-1][v-1]+dp[j][u][v])%mod;
				}
			}
			rep(u,0,x){
				rep(v,0,y){
					if(v)	down[j][u][v]=(down[j][u][v-1]+line[j][u][v])%mod;
					if(u)	up[j][u][v]=(up[j][u-1][v]+line[j][u][v])%mod;
				}
			}
		}
		rep(j,0,mx){
			rep(u,0,x){
				rep(v,0,y){
					dp[j][u][v]=0;
					if(j>=0){
						// += dp[i-1][j][s][t] where (u-s)<(v-t)
						if(v)	dp[j][u][v]+=down[j][u][v-1];
						dp[j][u][v]%=mod;
					}
					if(j>=1){
						// += dp[i-1][j-1][s][t] where (u-s)==(v-t)
						dp[j][u][v]+=line[j-1][u][v];
						dp[j][u][v]%=mod;
					}
					if(j>=3){
						// += dp[i-1][j-3][s][t] where (u-s)>(v-t)
						if(u)	dp[j][u][v]+=up[j-3][u-1][v];
						dp[j][u][v]%=mod;
					}
				}
			}
		}
	}
	int ans=0;
	rep(j,m,mx){
		ans+=dp[j][x][y];
		ans%=mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}