[组合数学] 圆排列和欧拉函数为啥有关系：都是polya定理的锅

本文是一个笨比学习组合数学的学习笔记，因为是笨比，所以写的应该算是很通俗易懂了。

首先，我们考虑这么一个问题：你有无穷多的$p$种颜色的珠子，现在你想要的把他们中的$n$个以圆形的形状等间距的黏在一个可以旋转的圆盘上，求方案数。

然后，该问题的答案是 $\frac{1}{n}\Sigma_{d|n}\phi(\frac{n}{d})p^d$ ,之中$\phi()$表示欧拉函数，下面解释一下为什么会出现这样一个公式。

首先，我们来复习一下polya定理：设一个序列上定义了一置换群$|G|$，则对该序列做$p$种颜色的染色，方案数为$\frac{1}{|G|}\Sigma^{|G|}_{i=1}p^{c_i}$，之中，$|G|$表示置换群大小（元素个数），$c_i$表示$G$中第$i$个置换的循环节数目。

那么在上述圆排列问题中，置换群也就是旋转变换的群了，注意这里不考虑翻转变换（这也是为什么题目里说要黏在可旋转的圆盘上的原因，这样就和翻转变换无关了）。那么显然，一个有$n$个珠子的圆环，一共对应了$n$种旋转变换，分别是从转$1$个单位到转$n$个单位（也就是不转，或者说转0个单位）的$n$种。因此，置换群大小$|G|=n$。

把$|G|=n$代入polya的公式里，得到$ans=\frac{1}{n}\Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i}$，那么对比真正的答案，接下来要说明的就是，为什么$\Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i}=\Sigma_{d|n}\phi(\frac{n}{d})p^d$。

答案其实简单的有些弱智：合并同类项

$\Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i}$这一式子里，其实有$n$项，那么很自然的一个想法就是：$p^{c_i}$是不是有不少重复的呢？事实上，是的，甚至只有$\sqrt{n}$种不同的$p^{c_i}$。

下面随便假设有个指数$d$，那我想知道$\Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i}$，有几个$p^d$出现，也就是有几个$c_i=d$。回忆一下，这里$c_i$指的是第$i$个置换循环节的数量，这个要怎么求呢？这里需要一个简单但nb的小知识：

定理：对于$n$个珠子组成的圆的旋转变换来说，旋转了$x$个单位的变换对应的循环节数量有$gcd(n,x)$个。

不是证明的证明：考虑一个青蛙跳石头的问题，也就是有$n$块石头圆形排列，编号从$0$至$n-1$，青蛙初始在$pos$的位置，每次青蛙会跳x步，那么青蛙跳一步就相当于$pos=(pos+x)%k$，现在，请问青蛙一直跳下去，能踩到多少块石头。例如，$n=6,x=4,pos=2$时，青蛙就只能跳到编号为$0,2,4$的三块儿石头上。该问题的答案是$\frac{n}{gcd(n,x)}$，这个证明略了，这是个比较好理解但不太好表述的数论结论。

那么，如果我们把旋转$x$个单位的置换群理解成每步跳$x$格的青蛙的话，就有循环节长度 = 青蛙能跳到的石头个数 = $\frac{n}{gcd(n,x)}$ 。又因为从青蛙的例子里可以看出，该长度和青蛙初始的$pos$无关，所以所有的循环节长度都是$\frac{n}{gcd(n,x)}$。
进而，由于 n=循环节长度*循环节数量，就可以解得循环节数量为$gcd(n,x)$，这就是旋转$x$对应置换的循环节数量。

书归正传，我们现在想知道的是，给定一个整数$d$，有几个$p^d$出现在$\Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i}$中，或者说多少个$c_i=d$。$c_i$的含义是循环节数量，也就是对于$x\in [1,n]$，有多少个$x$对应的循环节数量是$d$。废话不多说，按刚才的结论，这也就是问有多少个$x$满足$gcd(n,x)=d$。

有多少个$x$满足$gcd(n,x)=d$：这又是个数论问题，首先，变换成$gcd(\frac{n}{d},\frac{x}{d})=1$，这个变换是科学的，因为$gcd(n,x)=d$中$n$和$x$一定是$d$的倍数。那么，有多少个$x$满足$gcd(\frac{n}{d},\frac{x}{d})=1$呢？由于满足$gcd(\frac{n}{d},狗)=1$的狗有$\phi(n/d)$个（根据欧拉函数的定义），而狗和$x$显然是一一对应的，所以这样的$x$就也有$\phi(n/d)$个。

所以，$ans=\frac{1}{n}\Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i}=\frac{1}{n}\Sigma_{d|n}\phi(\frac{n}{d})p^d$，这里$d|n$是因为根据上面推导，循环节数量$d$显然一定是$n$的因子。