格子路径问题
在一个N*N矩阵的左上角坐着一个机器人,它只能向右运动或向下运动。那么, 机器人运动到右下角一共有多少种可能的路径?
进一步地,
如果对于其中的一些格子,机器人是不能踏上去的。设计一种算法来获得所有可能的路径。
不妨将这个问题再泛化一下,想象这个矩阵是m*n的,左上角的格子是(1, 1), 右下角的坐标是(m, n)。那么其递归就应该是:
path(i, j) = path(i-1, j) + path(i, j-1)
其递归终止条件指的是i=1,j=1,所以我们可以写出这样一段
typedef long long ll;
ll path(ll m, ll n){
if(m == 1 || n == 1) return 1;
return path(m-1, n) + path(m, n-1);
}
如果用纯数学的方法来解这道题目,大概也就是个高中排列组合简单题吧。 机器人从(1, 1)走到(m, n)一定要向下走m-1次,向右走n-1次,不管这过程中是怎么走的。 因此,一共可能的路径数量就是从总的步数(m-1+n-1)里取出(m-1)步,作为向下走的步子, 剩余的(n-1)步作为向右走的步子。
ll fact(ll n){
if(n == 0) return 1;
else return n*fact(n-1);
}
ll path1(ll m, ll n){
return fact(m-1+n-1)/(fact(m-1)*fact(n-1));
}
对于第二问,如果有一些格子,机器人是不能踏上去的(比如说放了地雷XD), 那么,我们如何输出它所有可能的路径呢?
让我们先来考虑简单一点的问题,如果我们只要输出它其中一条可行的路径即可, 那么我们可以从终点(m, n)开始回溯,遇到可走的格子就入栈, 如果没有格子能到达当前格子,当前格子则出栈。最后到达(1, 1)时, 栈中正好保存了一条可行路径。代码如下:
版权声明:本文为博主原创文章,转载请标明出处。