向量无穷范数为什么是分量绝对值最大者？

　　一直以来都不理解向量无穷范数如何从p范数得来，最近正看到极限，借此推导一遍。

 

1- p-范数

　　若 $x=\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]^{T}$，那么 $$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}$$

　　当 $p$ 取 $1, 2, \infty$ 时， 分别得到：

　　　　$1$-范数：　　$\|x\|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|+\cdots+|x_{n}|$

　　　　$2$-范数：　　$\|x\|_{2}=(|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\cdots+|x_{n}|^{2})^{\frac{1}{2}}$

　　　　$\infty$-范数：　 $\|x\|_{\infty}=\max(|x_{1}|, |x_{2}|, \cdots, |x_{n}|)$

---

2- $\infty$-范数的推导

　　证明：

　　由定义$\| x\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots+|x_{n}|^{p})^{\frac{1}{p}}$，记 $x_{max}=\max(|x_{1}|, |x_{2}|, \cdots, |x_{n}|)$

\[\begin{eqnarray}\lim\limits_{p\to\infty}\|x\|_{p}&=&\lim\limits_{p\to\infty}x_{max}\cdot\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}\nonumber\\&=&x_{max}\cdot\lim\limits_{p\to\infty}\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}\nonumber\end{eqnarray}\]

　　因 $1\leq\sum\limits_{i}\big(\frac{\|x_{i}\|}{x_{max}}\big)^{p}\leq n$，故由 $\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=1$ 及 夹逼原理，有$$\lim\limits_{p\to\infty}\Big(\big(\frac{\|x_{1}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\big(\frac{\|x_{2}\|}{x_{max}}\big)^{p}+\cdots+\big(\frac{\|x_{n}\|}{x_{max}}\big)^{p}\Big)^{\frac{1}{p}}=1$$

　　从而 $\lim\limits_{p\to\infty}\|x\|_{p}=x_{max}$.