运动学笔记

重要图像

$$\begin{array}{}& \frac{1}{v}\cdot \mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }t\end{array}$$

二项式展开

$$\begin{array}{}& (x+\mathrm{\Delta }x{)}^n=x^n+n{x}^{n-1}\mathrm{\Delta }x+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}(\mathrm{\Delta }x{)}^2+...+(\mathrm{\Delta }x{)}^n\end{array}$$

求极值的2个思路

1. 变分
   

2. 求导

斜抛运动的外包络线

$$y=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g}{2v_0^2}{x}^2$$

证明#

由抛体运动轨迹$f(x,\theta )=x\tan \theta -\frac{g}{2v_0^2}(1+{\tan }^2\theta )x^2$​

$y$上的点可视为对于固定的$x_0$,$y=max\{y_1\}$​

$f(\theta )=x\tan \theta -\frac{g}{2v_0^2}(1+{\tan }^2\theta )x^2$​

整理得,$f(\theta )=-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{\tan }^2\theta +x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$​

故$f(x,\theta )\mathrm{为}\mathrm{抛}\mathrm{物}\mathrm{线},f(x,\theta )=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{g}{2v_0^2}{x}^2$​​

运用#

常用于求极值

抛体结论

结论1#

一个以给定的初速度$v_0$，仰角为$\theta$，抛出的物体的射程为$S$

易知以同样的初速度，仰角${\theta }_2=\pi /2-{\theta }_1$，抛出物体的射程也是$S$，且射程相同的两个抛体在空中停留的时间

乘积$t_1{t}_2=\frac{2S}{g}$​

结论2#

以${\overrightarrow{v}}_0$抛出一个物体,若要求射程的极值,可以考虑画出矢量三角形求面积

证明:

$$\begin{gathered} \begin{array}{}& v_{\parallel }=v_0\cos \alpha +v_t\sin \alpha , \\ {S}_{\mathrm{△}}=\frac{gt{v}_{\parallel }}{2} \\ s=v_{\parallel }t,\end{array} \end{gathered}$$

故$s$正比例于$S_{\mathrm{△}}$

求导积分公式

指数函数#

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \int x^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C(n\ne -1)\end{array}$$

三角函数#

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (\sin x{)}^{\prime }=\cos x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& (\cos x{)}^{\prime }=-\sin x+C\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\end{array}$$

自然指对#

$$\begin{array}{}\text{(1)}& (e^x{)}^{\prime }=e^x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \int e^x\mathrm{d}x=e^x+C\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& (\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C\end{array}$$

证明:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y=\ln x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& x=e^y\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=e^y\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{e^y}\end{array}$$

代入$e^y=x$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\end{array}$$

极坐标系下的圆周运动

设运动方程$r(t)=vt$,$\theta (t)=\omega t$
故$v$可以分成$v_n$和$v_{\tau }$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& v_n=\dot{r},v_{\tau }=r\cdot \dot{\theta }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& a_n=\ddot{r}-{\dot{\theta }}^2\dot{r},a_{t}au=\ddot{\theta }r+2\dot{\theta }\cdot \dot{r}\end{array}$$

相对运动

(角标传递性)

1. $${\overrightarrow{v}}_{B\to A}={\overrightarrow{v}}_B-{\overrightarrow{v}}_A$$

   就像人感觉风从哪来

2. $${\overrightarrow{v}}_A=\overrightarrow{v_{A\to O}}+\overrightarrow{v_{O\to \mathrm{地}}}$$

   相对+跟随=绝对

自然坐标系

如何理解#

没有固定的坐标轴

$$\overrightarrow{r},\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t},\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}$$

曲率半径#

二次函数的曲率半径#

试确定抛物线$y=a{x}^2$在$x=0$处的曲率半径
由平抛规律得出

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x=v_{0}t\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& y=\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$$

消去时间$t$得出曲线方程

$$\begin{array}{}\text{(3)}& y=\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0}{)}^2\end{array}$$

由于$a_n=g$,代入$a_n=\frac{v^2}{\rho }$,得

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \rho =\frac{v_0^2}{g}\end{array}$$

对比系数$\frac{g}{2v_0^2}=a$,得

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \rho =\frac{1}{2a}\end{array}$$

一般函数的曲率半径#

由于上述方法使用了待定系数的方法,只适用于已知二次函数的情况.

现给出一种更加一般的方法

已知函数$y=y(x)$
将它改写成运动学中的参数方程

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y=y(t)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& x=t\end{array}$$

任意选取函数上的一点$P$,做出切线,即为$\overrightarrow{v}$的方向,做出矢量三角形,$v$在x轴上的分量为1,因为$\dot{x}=1$y轴上的分量为$\dot{y}$

设$\overrightarrow{v}$与水平方向的夹角为$\theta$,则$\tan \theta =\dot{y}$

做出$P$点加速度,方向竖直向上,因为$\ddot{x}=0$,也就是只有y轴上的分量,将其分解为$a_n$和$a_{\tau }$,由相似三角形可知

$$\begin{array}{}\text{(1)}& a_n=\ddot{y}\cos \theta \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& a_n=\frac{v^2}{\rho }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \cos \theta =\frac{1}{v}\end{array}$$

联立解得

$$\rho =\frac{v^2}{\ddot{y}\cos \theta }=\frac{v^3}{\ddot{y}}=\frac{({\dot{y}}^2+1{)}^{3/2}}{|\ddot{y}|}$$

加绝对值是因为导数有可能为负,而曲率半径为正.

瞬心

做纯滚动时点$P$运动到最下面时,易证瞬时速度为$0$(不然就产生了滑动,也可用相似三角形证明),于是可看做圆上的所有点都围绕着这个瞬心$P$转动

$$\frac{\pi }{2}-\arcsin \alpha =\arccos \alpha$$

角加速度

定义#

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \beta =\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}(rad/s^2)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \omega (t)={\omega }_0+\beta t,\theta (t)={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\beta t^2\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& a_{\tau }=\beta r\end{array}$$

匀角加速度运动特点#

1. $\overrightarrow{a}$方向逐渐靠近$a_n$
2. $a_{\tau }$不变

解微分方程步骤#

1. 分离变量
2. 两边积分

换系证明碰撞问题

假设有一个小球$A$以$v_0$向$B$球撞去,$B$一开始静止,二者质量都为$m$,求碰撞后二者速度

动量守恒#

显然,碰撞前后动量,机械能守恒

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m{v}_A^{\prime 2}+\frac{1}{2}m{v}_B^{\prime 2}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& m{v}_0=m{v}_A^{\prime }+m{v}_B^{\prime }\end{array}$$

联立,解得$v_A^{\prime }=0,v_B^{\prime }=\frac{1}{2}{v}_0$

质心系#

算出质心系速度

$$v_c=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i{v}_i}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}}=\frac{v_0}{2}$$

记为C系

$A$对于C系速度$v_{A\to C}=v_A-v_C=\frac{v_0}{2}$

$B$对于C系速度$v_{B\to C}=v_B-v_C=\frac{-v_0}{2}$

所以现在两边是对称情况,显然在C系中速度等大反向

然后换回地面参考系可知$v_A^{\prime }=0,v_B^{\prime }=\frac{1}{2}{v}_0$

关于质心的补充

$$\begin{array}{}\text{(1)}& x_c=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& v_c=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i{v}_i}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& a_c=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i{a}_i}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}}\end{array}$$