PKU 3318 Matrix Multiplication(随机化算法||状态压缩)

题目大意：原题链接

给定三个n*n的矩阵A,B,C,验证A*B=C是否成立.

所有解法中因为只测试一组数据,因此没有使用memset清零

Hint中给的傻乎乎的TLE版本：

#include<cstdio>
#include<cstring>
int n,A[510][510];
int B[510][510],C[510][510];
void Input(int m[510][510])
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&m[i][j]);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    bool sign=true;
    Input(A),Input(B),Input(C);
    for(int i=1;i<=n&&sign;i++){
        for(int j=1;j<=n&&sign;j++){
            int sum=0;
            for(int k=1;k<=n&&sign;k++)
                sum+=A[i][k]*B[k][j];
            if(sum!=C[i][j]) sign=false;
        }
    }
    if(sign) printf("YES");
    else printf("NO");
}

AC版本解法一：神奇的输入优化

之前就看到过几次一个神奇的输入模板,不知道这段代码是否就是那个(提交多次,觉得估计在提交人数多时容易超时)

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,A[505][505];
int B[505][505],C[505][505];

int Read()
{
    int d=0;
    char ch,t=0;
    while((ch=getchar())==' '||ch=='\n') ;
    if(ch=='-') t=1;
    else d=ch-'0';
    while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
        d=d*10+ch-'0';
    if(t) return -d;
    else return d;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    bool sign=true;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++)
            A[i][j]=Read();
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++)
            B[i][j]=Read();
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<n;j++)
            C[i][j]=Read();
    }
    for(int i=0;i<n&&sign;i++){
        for(int j=0;j<n&&sign;j++){
            int sum=0;
            for(int k=0;k<n;k++)
                sum+=A[i][k]*B[k][j];
            if(sum!=C[i][j]){
                sign=false;
                break;
            }
        }
    }
    if(sign) printf("YES");
    else printf("NO");
}

AC版本解法二：稳稳的随机化算法

#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define TLE 2000
int n,A[510][510];
int B[510][510],C[510][510];

void Input(int m[510][510])
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&m[i][j]);
    }
}
bool Judge()
{
    int r,c;//随机行数,列数 
    int time=50*TLE;//注意取的次数需要适当 
    while(time--){
        r=rand()%n+1,c=rand()%n+1;
        int sum=0;
        for(int k=1;k<=n;k++)
            sum+=A[r][k]*B[k][c];
        if(sum!=C[r][c]) return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    srand(time(NULL));
    Input(A),Input(B),Input(C);
    if(Judge()) printf("YES");
    else printf("NO");
}

AC版本解法三：流弊的状态压缩

思路；

/*

Problem B: Matrix Multiplication

The author gives an approximate algorithm rather than a precise one.

Randomize a n ×1 matrix X, test if the equation A × B × X = C × X holds true.

If it is not true we can safely say "NO" to this problem.

If it is true, the possibility that  A × B ≠ X is extremely little.

*/

上面是北大网站上的提示，用行向量把C矩阵和A*B矩阵压缩了，看这一句：

Randomize a n ×1 matrix X，用一个随机的列向量。

 

具体怎实现呢？

 

用压缩矩阵再比较的方法：

 

我习惯左乘一个行向量，所以设一个行向量X，X是1*n的矩阵，若A*B等于C则必有X*A*B等于X*C，虽然多乘了一个向量，但是时间复杂度却降低到了O(n^2)了。

 

这样解的实质是把一个方阵压缩成了一个行向量，向量的每一个元素都是原矩阵该列的的和，也就是说用和来比较。这样大大节省了时间。但是带来一个问题：

 

如这两个矩阵：

 

       x x x x x x x x x x                    x x x x x x x x x x

 

       x x 1 x x x x 1 x x                    x x 0 x x x x 2 x x

 

       x x x x x x x x x x                    x x x x x x x x x x

 

       x x 1 x x x x 1 x x                    x x 2 x x x x 0 x x

 

       ……                                          ……

 

       x x x x x x x x x x                    x x x x x x x x x x

 

       用压缩再比较的方法不能得到正确结果。压缩再比较的关键在于怎么样在和中体现原来每个元素的个性。关键就是X行向量怎么设定。题目在比赛结束后提示是一个随机的向量X，就是把X的每个元素设为随机数。我觉得可以把X设为一个递增的向量：{1、2、…、n}，这样更能体现每个元素的个性，而随机有可能在关键点上出现错误。

#include<cstdio>
int n,A[510][510];
int B[510][510],C[510][510];
int E[510],e[510],t[510];
void Input(int m[510][510])
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&m[i][j]);
    }
}
bool Judge(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            t[i]+=j*A[j][i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            e[i]+=t[j]*B[j][i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(e[i]!=E[i]) return false;
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    Input(A),Input(B),Input(C);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            E[i]+=j*C[j][i];//关键部分:j*C[j][i]就是给C矩阵左乘了一个递增的行向量X：{1,2,3,...,n}
    if(Judge(n)) printf("YES");
    else printf("NO");
}