HDU 5969 最大的位或(贪心)

第一步，首先通过给的第一，第二，第三组数据，可以发现一个规律，那就是右边界肯定要算进去，比如[1,10]那么10一定要算进去。 
即得最后结果中或值最大的两个数中的第一个数x； 
为什么呢？我们可以稍微证明一下：假设右边界为r，考虑r-1.第一种情况，如果r-1的二进制位数比r少一位，那么无疑应该选r；如7(0111)和8(1000) 
如果r-1的二进制位数和x相同，那么给（r-1）加上的1肯定会使一个0变成1，我们考虑一下也应该选r；如8(1000)和9(1001) 
然后数学归纳一下，就能得证了。

接下来第二步，如何确定第二个数？这个问题很玄学，经过样例数据，我们得到这样一个算法:

long long sum=0;
int maxlen=max(i,j);                         //    1 1 0 1 0
for(int k=maxlen-1;k>=0;k--){                //  | 1 0 0 0 1
        if(s1[k]==s2[k]){                        //  = 1 0 1 1 1
                if(s1[k]==1)
                sum+=(long long)pow(2,k);
        }
        else{//1+2^1+2^2+...+2^k=2^(k+1)-1<2^(k+1)
                sum+=(long long)pow(2,k+1)-1;
                break;
        }//该位取0,后面可以全部用1补充,因为不会超过下限l和上限r,属于[l,r]范围内 
}

简单的说，对于我们要求的另一个数y，从高位到低位，找到第一个位置两个二进制数不同的，然后该位取0，后面全部取1，之前的位数照抄。 
下面简单证明一下。 
首先对于之前的每个位置i，因为两个二进制数的第i位都是相同的，那么我们取的数第i位肯定也是这个数，因为要尽量取最大值，这一点很好理解。 
接下来是比较难的理解的一部分：假设[left，right]为题目要求的区间，那么对于第一个两个二进制数不同的位置j，肯定是一个0，一个1。易证0属于left，1属于right。 
接下来，对于y的第j位，我们无论取0或者1,对于最后的结果是没有影响的（因为right的第j位为1，该位或值肯定为1）。那么，如果我们对于y的第j位取0，之后的所有位取1，我们可以证明这是最优解，因为x|y尽量接近…1111…而且y在[left，right]之间；如果取1，则y的后面如上所述全部取1的话，则有y>r，不合题意

//参考 http://m.blog.csdn.net/article/details?id=53400225  
//首先证明必须 r 肯定要算进去 比如[1,10]那么10一定要算进去
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm> 
using namespace std;
int s1[100];
int s2[100];

int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        long long l;
        long long r;
        scanf("%lld %lld",&l,&r); 
        if(l==r)
            printf("%lld\n",l);
        else{
            memset(s1,0,sizeof(s1));
            memset(s2,0,sizeof(s2));
            int i=0;
            int j=0;
            while(l!=0){
                int t=l%2;
                s1[i++]=t;
                l/=2;
            }
            while(r!=0){
                int t=r%2;
                s2[j++]=t;
                r/=2;
            }
            long long sum=0;
            int maxlen=max(i,j);                         //    1 1 0 1 0
            for(int k=maxlen-1;k>=0;k--){                //  | 1 0 0 0 1
                if(s1[k]==s2[k]){                        //  = 1 0 1 1 1
                    if(s1[k]==1)//坑点
                        sum+=(long long)pow(2,k);
                }
                else{//1+2^1+2^2+...+2^k=2^(k+1)-1<2^(k+1)
                    sum+=(long long)pow(2,k+1)-1;
                    break;
                }//该位取0,后面可以全部用1补充,因为不会超过下限l和上限r,属于[l,r]范围内 
            }
            printf("%lld\n",sum);
        }
    }
    return 0;
}