有趣的动态规划(golang版本）

多年前就听过这个动态规划，最近在复习常用算法的时候才认真学习了一下，发现蛮有意思，和大家安利一波。

定义：

准确来说，动态规划师吧一个复杂问题分解成若干个子问题，并且寻找最优子问题的一种思想，而不是一种特定的算法。

听上去和我们常用的递归有点类似，但是注意：其中子问题的解被重复使用。也就是利用这个特性，我们可以把一个复杂的问题抽象转换成一个简单二维表来进行推演。

动态规划的解题关键在于：

• 1.根据问题可能性进行拆分。
  从最简单的情况下进行分析，从下往上逐步分析。
• 2.找到状态转移方程式，保存最优解。
  方程式其实就是在满足某个条件下的递推通项公式，同时也要注意条件范围和边界处理。

最有名的是背包问题：将N种类型的物件放到一个容量为M的背包里面，寻找最优解。

一般来说可以用暴力枚举的方式去算近似最优，但是从空间复杂度和时间复杂度来看使用动态规划更好，因为每一步的结果会保存下来给下一步计算使用，节约了不少时间消耗，最终算法性能极高。

下面举一个典型的例子，来自牛客网的一道"凑整题":

给你六种面额 1、5、10、20、50、100 元的纸币，假设每种币值的数量都足够多，编写程序求组成N元（N为0~10000的非负整数）的不同组合的个数。

仔细分析后发现，这是一个用不同类型的面额组合拼凑固定金额的组合最优解问题。由于N为0 ~ 10000的非负数，我们可以假设N取10来分析。
分析结果如图:

伪代码如下：

if (j - price[i] >= 0) {
    Fn(amount) = Fn(j - price[i]) + Fn-1(amount);
} else {
    Fn(amount) = Fn-1(amount);
}

其中的Fn函数可以用一个二维数组来实现，第二维为面额个数（即n),第一维度为amount+1种，用于对应的组合数。

用golang实现如下：

func getTheNum(num int) int {
    var dp [5][10000]int
    moneys = int[...] {1, 5, 10 ,20 , 50, 100}// 面额数组
    for i := 0; i < 5; i++ { // 用前i种面额拼凑1rmb的方法数均为1
        dp[i][0] = 1
    }
    for i := 0; i <= num; i++ { // 用1rmb面额拼凑0金额的方法数都为1
        dp[0][i] = 1
    }
    
    for i := 1; i < 5; i++ { // 每一种面额组合递推
        for j := 1; j <= num; j++ {
            if j - moneys >= 0 { // 当当前金额大于这次循环的面额值，则组合数等于当前i种面额拼凑j金额的组合数+前i+1种面额拼凑j - moneys[i]金额的组合数
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j - moneys[i]]
            } else {
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            }
        }
    }
    
    return dp[4][num] // 返回最后一项
}

还可以进一步简化，因为二维数组保存的结果在每一次循环判断中都被保存下来了，所以用一维数组也可以保留。改进实现如下：

func SimpleGetNum(num int) int {
    var dp [10000]int
    moneys = int[...] {1, 5, 10 ,20 , 50, 100}// 面额数组
    for i := 0; i <= num; i++ { // 用1rmb面额拼凑0金额的方法数都为1
        dp[i] = 1
    }
    
    for j := 1; j <= 5; j++ {
		for i := 1; i <= num; i++ {
			if i >= moneys[j] { // 当前面金额大于面额的时候需要计算前i种面额组合出i - moneys[j]的方法数
				dp[i] += dp[i - moneys[j]]
			}
		}
	}

	return dp[num]
}

探索的过程就如同RPG游戏，算法真的是一个很有趣的事情，很多都像精巧的数学问题的代码化。