codevs 1228 苹果树 树链剖分讲解
题目：codevs 1228 苹果树
链接：http://codevs.cn/problem/1228/
看了这么多树链剖分的解释，几个小时后总算把树链剖分弄懂了。
树链剖分的功能：快速修改，查询树上的路径。
比如一颗树
首先，我们要把树剖分成树链。定义：
fa[x]是x节点的上一层节点（就是他的爸爸）。
deep[x]是x节点的深度。
num[x]是x节点下面的子节点的数量（包括自己）
son[x]重儿子：一个节点的儿子的num[x]值最大的节点。其他的儿子都是轻儿子。
重链：重儿子连接在一起的路径，比如上图粗线就是重链（叶节点也是重链，只不过它只有一个点）。
重链之间是用一条轻链边连接的。
top[x]是每条重链的根节点，即是上图中的红色点。
tree[x]是数上节点在线段树上的编号
ftree[x]是线段树上节点在原来树的节点号
现在把它放到线段树里，从根节点开始编号为1，沿着重链走，每走到一个节点给它编号（可以用一个topa变量记录下一个编号），重链走完了走轻链。如图所示就给每条边都编上号了。如果边的长度没有，当然也可以把节点放在线段树上。图总的蓝色数字就是这条边在线段树里的位置，形成了区间，如下图。
然后把这个数组组成最终的线段树，就可以控制它的区间了。
可以发现，虽然看上去把树剖分放到线段树上好像打乱了树的顺序，线段树中的点仍然有原来树的影子。比如如果我要访问x节点的子树，那么这个节点的子树的区间就是从tree[x]到tree[x]+num[x]-1（-1是减掉自己这个节点）的区间。
我们可以用2个dfs来把剖分的动作实现。
第一个dfs先实现fa[x]，deep[x],num[x]的计算，num要在访问完子树之后计算，见代码：
1 void dfs1(int x) 2 { 3 num[x]++; 4 for(int i=0;i<map[x].size();i++) 5 { 6 int dd=map[x][i]; 7 if(dd!=fa[x]) 8 { 9 fa[dd]=x; 10 deep[dd]=deep[x]+1; 11 dfs1(dd); 12 num[x]+=num[dd]; 13 } 14 } 15 }
注释：map是STL的vector，用来储存边。
第二个dfs完成son[x],tree[x],ftree[x]的计算，代码如下：
1 void dfs2(int x) 2 { 3 topa++; 4 ftree[topa]=x; 5 A[topa]++; 6 tree[x]=topa; 7 int zi=0,mx=0; 8 for(int i=0;i<map[x].size();i++) 9 { 10 int dd=map[x][i]; 11 if(num[dd]>mx) 12 { 13 mx=num[dd]; 14 zi=dd; 15 } 16 } 17 if(zi!=0) dfs2(zi); else return; 18 son[x]=zi; 19 for(int i=0;i<map[x].size();i++) 20 { 21 int dd=map[x][i]; 22 if(dd!=zi) dfs2(dd); 23 } 24 }
剖分动作结束，接下来是线段树的事情了。
这里再说一下如何在线段树上操作原树，之前提到过，其实在线段树上也有原来树的结构。
x的子树区间就是tree[x]到tree[x]+num[x]-1。
下面来看一下这道题：codevs 1228 苹果树
这是一个最基本的树链剖分。题目中要求计算一颗子树上有苹果多少颗，改变是点修改。因此只要找到那个节点，子树在线段树上的位置，线段树是维护某区间的苹果树数量，查询操作就是一般的线段树查询。
代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<vector> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 const int maxn=100010; 6 7 vector<int> map[maxn]; 8 int fa[maxn],n,deep[maxn],num[maxn],topa,A[maxn],tree[maxn],ftree[maxn],son[maxn],sumv[maxn*4],k; 9 10 void dfs1(int x) 11 { 12 num[x]++; 13 for(int i=0;i<map[x].size();i++) 14 { 15 int dd=map[x][i]; 16 if(dd!=fa[x]) 17 { 18 fa[dd]=x; 19 deep[dd]=deep[x]+1; 20 dfs1(dd); 21 num[x]+=num[dd]; 22 } 23 } 24 } 25 26 void dfs2(int x) 27 { 28 topa++; 29 ftree[topa]=x; 30 A[topa]++; 31 tree[x]=topa; 32 int zi=0,mx=0; 33 for(int i=0;i<map[x].size();i++) 34 { 35 int dd=map[x][i]; 36 if(num[dd]>mx) 37 { 38 mx=num[dd]; 39 zi=dd; 40 } 41 } 42 if(zi!=0) dfs2(zi); else return; 43 son[x]=zi; 44 for(int i=0;i<map[x].size();i++) 45 { 46 int dd=map[x][i]; 47 if(dd!=zi) dfs2(dd); 48 } 49 } 50 51 void init(int o,int L,int R) 52 { 53 if(L==R) sumv[o]=A[L]; 54 else 55 { 56 int M=(L+R)/2; 57 init(o*2,L,M); 58 init(o*2+1,M+1,R); 59 sumv[o]=sumv[o*2]+sumv[o*2+1]; 60 } 61 } 62 63 int y1,y2,p; 64 void update(int o,int L,int R) 65 { 66 if(L==R) sumv[o]=(sumv[o]+1)%2; 67 else 68 { 69 int M=(L+R)/2; 70 if(p<=M) update(o*2,L,M); 71 else update(o*2+1,M+1,R); 72 sumv[o]=sumv[o*2]+sumv[o*2+1]; 73 } 74 } 75 76 int ans; 77 void query(int o,int L,int R) 78 { 79 if(y1<=L && R<=y2) ans+=sumv[o]; 80 else 81 { 82 int M=(L+R)/2; 83 if(y1<=M) query(o*2,L,M); 84 if(y2>M) query(o*2+1,M+1,R); 85 } 86 } 87 88 int main() 89 { 90 cin>>n; 91 for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++) 92 { 93 cin>>x>>y; 94 map[x].push_back(y); 95 } 96 deep[1]=1; 97 dfs1(1); 98 dfs2(1); 99 100 init(1,1,n); 101 102 cin>>k; 103 for(int i=1,x;i<=k;i++) 104 { 105 char tp; 106 cin>>tp; 107 if(tp=='C') 108 { 109 cin>>x; 110 p=tree[x]; 111 update(1,1,n); 112 } 113 else 114 { 115 cin>>x; 116 y1=tree[x]; 117 y2=y1+num[x]-1; 118 ans=0; 119 query(1,1,n); 120 cout<<ans<<endl; 121 } 122 } 123 return 0; 124 }
