数学1——概率与数学期望
本文作者frankchenfu，blogs网址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，转载请保留此文字。
1、什么是数学期望？
数学期望亦称期望、期望值等。在概率论和统计学中，一个离散型随机变量的期望值是试验中每一次可能出现的结果的概率乘以其结果的总和。
这是什么意思呢？假如我们来玩一个游戏，一共52张牌，其中有4个A。我们1元钱赌一把，如果你抽中了A，那么我给你10元钱，否则你的1元钱就输给我了。在这个游戏中，抽中的概率是$\frac{1}{13} ( \frac{4}{52} ) $，结果是赢10元钱；抽不中概率是$\frac{12}{13}$，结果是亏1元钱。那么你赢的概率，也就是期望值是$-\frac{2}{13}$。这样，你玩了很多把之后，一算账，发现平均每把会亏$-\frac{2}{13}$元。
一般在竞赛中，若X是一个离散型的随机变量，可能值为$x_1,x_2$……，对应概率为$p_1,p_2$……，概率和为1，那么期望值$E(X)=\sum_{i}{}{p_i x_i}$
对于数学期望，我们还应该明确一些知识点：
（1）期望的“线性”性质。对于所有满足条件的离散型的随机变量X，Y和常量a，b，有：$E(aX+bY)=a E(x)+b E(y)$；
类似的，我们还有$E(XY)=E(X)+E(Y)$。
（2）全概率公式 假设{$B_n \mid n = 1,2,3,...$}是一个“概率空间有限或可数无限”的分割，且集合$B_n$是一个“可数集合”，则对于任意事件A有：
$P(A)=\sum_{n}{}{P(A \mid B_n)P(B_n)}$
（3）全期望公式 $E(Y)=E(E(Y \mid X))=\sum_{i}{}{P(X=x_i)E(Y \mid X=x_i)}$
2、数学期望怎么用？
确实，数学期望在数学的范围里是一个较为复杂，但是却十分有用的一个部分。
但是题型类型多，花样也多，有时无从下手。明知是数学期望，却找不到正确的算法解决问题。
于是，我们来分析一下：
（1）对于很大一部分的期望问题，递推是个好帮手。我们一般在草稿纸上，把题目中隐含的期望值之间的关系，然后经过计算等方法，找出一个递推式。这个递推式，不要求我们枚举每一种可能（不然就没有用递推的意义了），而是根据一些已有的，或是可以直接简单地推算出的期望值，算出其他状态下的期望。这个道理道理大家也都明白，可是有时是很难找到递推式的。这时，我们就应该用我们之前讲过的期望的定义——$E(X)=\sum_{i}{}{p_i x_i}$，然后再结合期望的“线性”性质和全概率、全期望公式，一步步地像“剥笋皮”一样，找到问题的核心，这样效果往往很好。
（2）另外，有决策、满足最优子结构的期望问题，我们还可以考虑人们常常与“递推”弄混的“动态规划”。这里，我们一般用期望表示状态，期望的正负高低，就能决定这个状态的优和劣。
（3）对于上述两种方法都不能解决的，这也算是比较少了。这时，常见的尝试方法之一就是高斯消元法。我们可以先尝试建立一个线性方程组，然后进行高斯消元等操作。
3、数学期望例题
上面讲了这么多，这里补充一道例题，大家不妨参考一下。
题目描述
“……在2002年6月之前购买的百事任何饮料的瓶盖上都会有一个百事球星的名字。只要凑齐所有百事球星的名字，就可参加百事世界杯之旅的抽奖活动，获得球星背包，随声听，更克赴日韩观看世界杯。还不赶快行动！”
你关上电视，心想：假设有n个不同的球星名字，每个名字出现的概率相同，平均需要买几瓶饮料才能凑齐所有的名字呢？
输入输出格式
输入格式：
整数n（2≤n≤33），表示不同球星名字的个数。
输出格式：
输出凑齐所有的名字平均需要买的饮料瓶数。如果是一个整数，则直接输出，否则应该直接按照分数格式输出，例如五又二十分之三应该输出为：
3
5--
20
第一行是分数部分的分子，第二行首先是整数部分，然后是由减号组成的分数线，第三行是分母。减号的个数应等于分母的为数。分子和分母的首位都与第一个减号对齐。
分数必须是不可约的。
输入输出样例
2
这里这道题目就是典型的概率期望题。
假设为一共有n个球星，现在有k个没有收集到，还需要购买的平均次数，则：
移项并整理得递推式：
也就是说，我们要求的就是：
代码这里就不给出了，有兴趣的同学可以自己尝试着完成这道题。
这篇博客暂时就讲到这里，希望对大家有所帮助，谢谢！
