动态规划算法1——背包问题
本文作者frankchenfu，blogs网址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，转载请保留此文字。
动态规划是一个OI选手都熟悉的算法，同时也是刚接触时比较难理解的。
今天，我为大家分享一类比较简单的动态规划问题——背包问题。
背包问题(Knapsack problem)是在1978年提出的，它都可以类似的描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
背包问题主要有三种分支：
1、01背包；
2、完全背包；
3、多重背包。
其中01背包比较容易，（甚至可以用贪心来做，但这里不予考虑）。
它是这样的：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格（“性价比”一般不相同），但是都只可以选一个（一个物品选一次）。在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
因为只能选一次，所以我们可以先枚举第i个物品是否能加入背包，然后如何判断能不能加入呢？在循环里再嵌套一层循环，枚举当前背包已经使用的空间，如果这个空间比当前物品的重量还小肯定不对，就不合算了。每次枚举都要进行一次决策，取最优值。需要注意的是，这个空间j的枚举必须从后往前枚举，不然就可能会取多个相同的物品，显然这不行，违反了原意（想一想，为什么？）。
好了，应该大家到这里都大概听懂了吧？如果没听懂，也没关系，可以反复地思考，或者参考其他的文章。如果你的代码能力比较强，也可以尝试阅读代码，说不定有所帮助。为了降低代码的空间复杂度，我们对决策数组f[ ]进行了压维，使它降成了一维。Cpp代码如下(复制代码请点图标)：
1 /*
2 01背包
3 适用于输入格式如下的问题，出现问题请自行调整：
4 第一行两个整数M, N分别表示背包空间与物品总数；
5 第2到N+1行每行两个整数，分别表示这类物品每个的价值和所需空间。
6 */
7 #include<cstdio>
8 const int MAXM=10001,MAXN=51;
9 int m,n;
10 int w[MAXN],c[MAXN];
11 int f[MAXM];
12 int max(int x,int y)
13 {
14 return x>y?x:y;
15 }
16 int main()
17 {
18 scanf("%d%d",&m,&n);
19 for(int i=1;i<=n;i++)
20 scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
21 for(int i=1;i<=n;i++)
22 for(int j=m;j>=w[i];j--)
23 f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
24 printf("%d\n",f[m]);
25 return 0;
26 }
那么，我们接下来讲的就是完全背包。完全背包和01背包类似，只不过每种物品有无限多件，你爱取几件取几件！
它们的代码也是极其的相似！仅仅是for循环的顺序从逆序变成了顺序。（刚才说的取多件，其实是变成了完全背包）。Cpp代码：
1 /*
2 完全背包，输入规则：
3 第一行两个整数M, N分别表示背包空间与物品总数；
4 第2到N+1行每行两个整数，分别表示这类物品每个的价值和所需空间。
5 */
6 #include<cstdio>
7 const int MAXM=10001,MAXN=51;
8 int m,n;
9 int w[MAXN],c[MAXN];
10 int f[MAXM];
11 int max(int x,int y)
12 {
13 return x>y?x:y;
14 }
15 int main()
16 {
17 scanf("%d%d",&m,&n);
18 for(int i=1;i<=n;i++)
19 scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
20 for(int i=1;i<=n;i++)
21 for(int j=w[i];j<=m;j++)
22 f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
23 printf("%d\n",f[m]);
24 return 0;
25 }
最后一个最最最难的多重背包，它是每个物品都有有限多个！
它需要用到二进制思想进行拆分（其实有点像拆分成多个01背包，然后再把答案合并）！Cpp代码如下：
1 /*
2 多重背包，输入格式：
3 第一行，一个整数n，物品数量；
4 第二行，n个整数，第i个整数表示第i个物品的价格bi；
5 第三行，n个整数，第i个整数表示第i个物品的数量ci；
6 第四行，一个整数m，背包空间。
7 */
8 #include<cstdio>
9 const int MAXM=10001,MAXN=6001;
10 int v[MAXM],w[MAXM];
11 int f[MAXN];
12 int n,m,p;
13 int max(int x,int y)
14 {
15 return x>y?x:y;
16 }
17 int main()
18 {
19 scanf("%d%d",&n,&m);
20 for(int i=1;i<=n;i++)
21 {
22 int x,y,s,t=1;
23 scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);
24 for(;s>=t;t<<=1)
25 {
26 v[++p]=x*t;
27 w[p]=y*t;
28 s-=t;
29 }
30 v[++p]=x*s;
31 w[p]=y*s;
32 }
33 for(int i=1;i<=p;i++)
34 for(int j=m;j>=v[i];j--)
35 f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
36 printf("%d\n",f[m]);
37 return 0;
38 }
这篇文章到此就结束了。希望对大家有所帮助，谢谢！
