【笔记】原根

以下内容大多搬运自《初等数论》，有一些自己的整理。

算了直接去https://www.luogu.com.cn/blog/_post/229723看吧……

定理

\(m\)有原根的充分必要条件为\(m=1,2,4,p^\alpha, 2p^{\alpha}\)，其中\(p\)是素数，\(\alpha\)是正整数。

前置知识

约定

1. 下列讨论均假设\(\gcd(a,m)=1\)。

2. 记\((x,y,\ldots)=\gcd(x,y,\ldots)\)，\([x,y,\ldots]=\mathrm{lcm}(x,y,\ldots)\)。

阶

令\(\delta_m(a)\)等于使得\(a^x\equiv1\pmod m\)的最小正整数\(x\)，称其为\(a\)的阶（或指数）。

若存在\(a\)使得\(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，称\(a\)为\(m\)的原根。

则有性质：

1. 若\(a^x\equiv 1\pmod m\)，则有\(\delta_m(a)|x\)。

引理（证明在最后）

引理1. \(a^{2^{l-2}}\equiv1\pmod {2^l}\)，其中\(l\ge 3\)且\((2,a)=1\)。由此，\(\delta_m(a)|2^{l-2}\)。

引理2. （欧拉定理）\(a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m\)。

​ 推论3. \(\delta_m(a)|\varphi(m)\)。（由性质1即得）

引理4. \(\delta_{m_1m_2}(a)=[\delta_{m_2}(a),\delta_{m_1}(a)]\)。

引理5. 若\(m=2^{\alpha_0}p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\)，\(\delta_m(a)\vert[2^{c_0},\varphi(p_1^{\alpha_1}),\ldots,\varphi(p_k^{\alpha_k})]\)。其中

\[c_0=\begin{cases} 0, &\alpha_0 = 0,1 \\ 1, &\alpha_0 = 2 \\ \alpha_0-2, &\alpha_0\ge3 \end{cases} \]

必要性

由引理5，若\(a\)为模\(m\)的原根，\(\delta_m(a)=\varphi(m)|[2^{c_0},\varphi(p_1^{\alpha_1}),\ldots,\varphi(p_k^{\alpha_k})]\)。

由\(1\le [2^{c_0},\varphi(p_1^{\alpha_1}),\ldots,\varphi(p_k^{\alpha_k})]\le 2^{c_0}\cdot\varphi(p_1^{\alpha_1})\cdots\varphi(p_k^{\alpha_k})\le\varphi(m)\)。

要取等，必有\(2^{c_0}=\varphi(2^{\alpha_0})\)且\((2^{c_0},\varphi(p_1^{\alpha_1}),\ldots,\varphi(p_k^{\alpha_k}))=1\)。

讨论即证必要性。

充分性