【笔记】原根
以下内容大多搬运自《初等数论》，有一些自己的整理。
算了直接去https://www.luogu.com.cn/blog/_post/229723看吧……
定理
\(m\)有原根的充分必要条件为\(m=1,2,4,p^\alpha, 2p^{\alpha}\)，其中\(p\)是素数，\(\alpha\)是正整数。
前置知识
约定
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下列讨论均假设\(\gcd(a,m)=1\)。
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记\((x,y,\ldots)=\gcd(x,y,\ldots)\)，\([x,y,\ldots]=\mathrm{lcm}(x,y,\ldots)\)。
阶
令\(\delta_m(a)\)等于使得\(a^x\equiv1\pmod m\)的最小正整数\(x\)，称其为\(a\)的阶（或指数）。
若存在\(a\)使得\(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，称\(a\)为\(m\)的原根。
则有性质：
- 若\(a^x\equiv 1\pmod m\)，则有\(\delta_m(a)|x\)。
引理（证明在最后）
引理1. \(a^{2^{l-2}}\equiv1\pmod {2^l}\)，其中\(l\ge 3\)且\((2,a)=1\)。由此，\(\delta_m(a)|2^{l-2}\)。
引理2. （欧拉定理）\(a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m\)。
推论3. \(\delta_m(a)|\varphi(m)\)。（由性质1即得）
引理4. \(\delta_{m_1m_2}(a)=[\delta_{m_2}(a),\delta_{m_1}(a)]\)。
引理5. 若\(m=2^{\alpha_0}p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\)，\(\delta_m(a)\vert[2^{c_0},\varphi(p_1^{\alpha_1}),\ldots,\varphi(p_k^{\alpha_k})]\)。其中
必要性
由引理5，若\(a\)为模\(m\)的原根，\(\delta_m(a)=\varphi(m)|[2^{c_0},\varphi(p_1^{\alpha_1}),\ldots,\varphi(p_k^{\alpha_k})]\)。
由\(1\le [2^{c_0},\varphi(p_1^{\alpha_1}),\ldots,\varphi(p_k^{\alpha_k})]\le 2^{c_0}\cdot\varphi(p_1^{\alpha_1})\cdots\varphi(p_k^{\alpha_k})\le\varphi(m)\)。
要取等，必有\(2^{c_0}=\varphi(2^{\alpha_0})\)且\((2^{c_0},\varphi(p_1^{\alpha_1}),\ldots,\varphi(p_k^{\alpha_k}))=1\)。
讨论即证必要性。
