【笔记】【网络流】原始对偶算法中调整的必要性与正确性的证明

如果不熟悉算法过程的话可以参考以下链接（中的代码）

1. https://oi-wiki.org/graph/flow/min-cost/#primal-dual
2. https://www.luogu.com.cn/blog/Mogician/Network-Flow-Guide

引理：若图\(G\)中有边\((u,v,w)\)（且均存在源点到\(u,v\)的最短路），则有

\[dis[v]\le dis[u]+w \]

证明：由最短路定义易得。\(\blacksquare\)

正确性：要证正确性，即证每次跑Dijkstra之前，（没有负环——不过这是显然的——且）对所有边\((u,v,w)\)有新的边权

\[w' = h[u]-h[v]+w \ge 0 \tag{1}\label{ref1} \]

证明：\(G\)增广后，每个点的势能\(Ep\)都加上了\(dis'\)，变成了\(G\)中源点到每个点的最短路\(dis\)（见上面的第2个连接）。只需证明，在\(s\)到\(t\)的最短路上增加了一些负权反向边/删除了一些边后得到的\(G'\)中，对所有边\((u,v,w)\)都有\(\ref{ref1}\)成立

分两类讨论：

1. 对所有不在最短路上的边\((u,v,w)\)，因为\(w\)未变，故由引理，在图\(G\)上有\(dis[u]-dis[v]-w \ge 0\)，成立。

2. 对所有在最短路上的边\((u,v,w)\)有

   \[dis[u] - dis[v] + w\ge 0 \\ dis[v] - dis[u] - (-w)\ge 0 \]

   即

   \[dis[u] +w = dis[v] \]

   由于\((u,v,w)\)在最短路上，显然成立。\(\blacksquare\)

修改是必要的：因为\(G\)的最短路可能不为\(0\)（与\(prev(G)\)相比增加了，如图\(G=(V=\{1,2,3\},E=\{(1,2,1),(1,3,1),(2,3,1)\})\)在一次增广之后的情况），导致出现正权边，必须变为零边。（否则新图\(G'\)中会有负权，不能跑Dijkstra）