【题解】NOI Online（2020-03-07）
Online [[NOI Online]sol(by zjc).md](../friend/[NOI Online]sol(by zjc).md)
序列(sequence)
首先可以注意到，操作2不改变其\(\sum a_i\)，任何操作都不改变其\(\sum a_i\)的奇偶性。
（其次，显然只需要考虑\(c_i=a_i-b_i\)的值即可，目标即为\(c_i=0\)）
测试点 1 - 5
显然，当且仅当\(c_1=c_2\)时有解。
测试点 6 - 10
显然，当且仅当\(c_1+c_2=0\)时有解。
测试点 11 - 12
若同时有操作1和2，则当且仅当\(c_1+c_2\)为偶数时有解：
- 先用1操作使得\(c_1+c_2=0\)，此时可用2操作使得\(c_i=0\)。
测试点 13 - 16
将一个\((2,u,v)\)看做一条无向边\((u,v)\)，考虑一个连通块：
- 若这个连通块内的\(\sum c_i\ne0\)，则无解。
- 否则，则有解。（解可以通过在其生成树上DFS构造。）
测试点 17 - 20
考虑所有操作2的边形成的图，先将所有连通块缩成点，则原问题可化归成所有\(t_i=1\)的子问题。考虑操作1的边形成的图：
-
考虑一个连通块，若其无环，则可以DFS地判断是否有解。
实际上，有解的充分必要条件即为\(\sum_{黑色}c_i=\sum_{白色}c_i\)。
-
若该连通块有环（边数大于等于点数）：
-
考虑特殊情况：该连通块为一个环。发现只要满足\(\sum c_i\)为偶数即有解。
批：这一步错了。若为偶环，黑白染色后，要求\(\sum_{黑色}c_i=\sum_{白色}c_i\)才有解。这是因为每次操作必定操作一个白色点和一个黑色点，使得\(\Delta\sum_{黑色} = \Delta\sum_{白色}\)。
- 这是因为，对奇环而言，总有一种方案，可以先使所有\(c_i\)为偶数，再通过多个一系列操作，每次使得\(|c_i|\)减少2。
-
其他情况，类似可知只要满足\(\sum c_i\)为偶数即有解。
批：这个结论也有一点问题，仅仅对于奇环才成立。
对于偶环，同样只需要考虑\(\sum_{黑色}c_i=\sum_{白色}c_i\)才有解。
- 考虑生成该图的一个基环树，对所有子树DFS求解，再求解环即可。
-
可以发现对\(u_i=v_i\)的边，以上结论也成立。
冒泡排序(bubble)
- 10:23写完代码，过了样例。
首先，可以注意到一个结论：
结论
对于一个数\(x\)，记它的逆序对\(inv[x]\)个数为数列中在它之前，且大于它的数的个数。则每一轮冒泡排序之后，若\(inv[x]\)大于\(0\)，则其变为\(inv[x]-1\)。
正确性应该比较显然吧……
算法
考虑题目要求：
- 对于一个询问，答案即为\(\sum \min(inv[x]-k,0)\)。
- 对于一次修改，它会使得恰好一个\(inv[x]\)变化\(1\)。
将\(b=inv\)排序，则对一次修改，相当于将一个数减一/加一，可以对适当位置的数操作使得\(b\)序列仍然有序。
对于一次询问，则相当于求一个\(b[x]>k\)的后缀的长度以及其和，树状数组维护即可。
最小环(ring)
我猜这是个结论题……
- 10:30开始写暴力。
- 10:41感觉和我猜的结论一样……写个对拍试试？
- 11:20完成简单算法的实现，感觉跑的挺快。
需要注意的地方(?)：当\(n=2,k=1\)时，和为\(a_1a_2\)，非\(a_1a_2+a_2a_1\)。
猜的结论
若\(k=1\)，不妨设\(a_i\le a_{i+1}\)，则最优排列为\(\dots,a_{n-1},a_n,a_{n-2},a_{n-4},\dots\)。为什么？……不知道，不会证。
若\(k|n\)，则可以划分为\(k\)个子问题。第\(i\)个子问题相当于将\(a_{(i-1)k+1}\)到\(a_{ik}\)排在环上（这个比较显然吧……）
否则，令\(k'=\gcd(k,n)\)，则原问题等价于\(k'\)的情况。
简单算法
对每个\(n\)的因数，都暴力求一遍……
复杂度\(O(n\sigma_0(n))\subseteq O(n\sqrt n)\)。（似乎\(\max \sigma_0(n)=\sigma_0(166320)=160\)……感觉没什么问题？）
