数据结构与算法(A)/第五章书面作业
第五章书面作业
1
证明：判断以下叙述是否成立，并给出证明，若不成立，给出反例：
已知先序遍历序列和后序遍历序列可以确定唯一一棵二叉树。
不成立。
考虑先序遍历序列 1 2 与后序遍历序列 2 1，可确定两个二叉树：
1 1
/ 与 \
2 2
它们的先序遍历序列与后序遍历序列满足条件。
2
在一棵表示有序集 S 的无重复元素二叉搜索树中，任意一条从根到叶子结点的路径将S分为 3 个部分：在该路径左边结点中的元素组成的集合 S1；在该路径上的结点中的元素组成的集合 S2；在该路径右边结点中的元素组成的集合 S3。S = S1∪S2∪S3。若对于任意的a∈S1，b∈S2，c∈S3，判断以下表达式是否总是成立，若成立，简要叙述理由，若不成立，给出反例：
1)
a<b
考虑 a 与 b 的最近公共祖先（LCA） u，因为 S 是 b 到根的路径，所以可知 u 在 S 上。因此， a 在 u 的左子树内，b 在 u 的右子树内。
由无重复元素二叉搜索树的性质，知 a < b。成立。
2)
b<c
成立。证明同 1)。
3)
a<c
由 a<b 和 b<c 立刻得到 a<c 。成立。
3
设计一种算法，判断一颗二叉树的对称性（二叉树对称性即树中对称的节点val 值相同）。
只需判断左右子树是否互为镜像，递归即可。
bool isMirror(Node *u, Node *v) {
if (u == NULL || v == NULL) return u == v;
if (u -> val != v -> val) return false;
return isMirror(u -> left_child, v -> right_child) && isMirror(u -> right_child, v -> left_child);
}
bool isSymmetric(Node *u) {
if (u == NULL) return true;
return isMirror(u -> left_child, v -> right_child);
}
4
设计一种算法，检查一个长度为 m(m>0)的 int 数组是否为一个大顶堆。
只需判断每一对父子关系中，是否有父亲 ≥ 儿子即可。
bool isHeap(int *a, int m) {
for (int i = 1; i < m; ++i) if (a[i] > a[(i-1)/2]) return false;
return true;
}
5
对于一组权\(W_0, W_1,…, W_{n−1}\)，说明怎么构造一个具有最小带权外部路径长度的扩充 \(k\) 叉树。
仿照构造 Huffman 树的方式。唯一的区别在于执行最后一步时，优先队列中剩余的权可能不到 \(k\) 。为了解决这个问题，在算法的一开始需要把 \((n-1) \bmod (k-1)\) 个值为 \(0\) 的虚拟权值放入优先队列中。
把这些权全部放到一个优先队列中，每次取出最小的 \(k\) 个权 \(w_0, ..., w_{k-1}\)，并创建一个新的节点 \(u\) ，让权 \(w_0, ..., w_{k-1}\) 对应的子树 \(W_0, ..., W_{k-1}\) 成为 \(u\) 的子树，并把 \(u\) 的权 \(w_u\) 设为 \(w_0 + ... + w_{k-1}\) 再放入优先队列中，并循环，直到优先队列中只剩下 1 个节点。剩下的这个节点对应的 \(k\) 叉树即为答案。
试对权集 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 来具体构造一个这样的扩充三叉树。
-
一共有 \(10\) 个数， \((10-1) \bmod (3-1) = 1\)，故需额外插入一个 \(0\)。此时优先队列中的数为 \(\{0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}\)。
-
取出 \(0, 1, 4\)，将其和 \(5\) 放回，此时优先队列中的数为 \(\{5, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}\)。连边
5-->1 5-->4 -
取出 \(5, 9, 16\)，将其和 \(30\) 放回，此时优先队列中的数为 \(\{25, 30, 36, 49, 64, 81, 100\}\)。连边
30-->5 30-->9 30-->16 -
取出 \(25, 30, 36\)，将其和 \(91\) 放回，此时优先队列中的数为 \(\{49, 64, 81, 91, 100\}\)。连边
91-->25 91-->30 91-->36 -
取出 \(49, 64, 81\)，将其和 \(194\) 放回，此时优先队列中的数为 \(\{91, 100, 194\}\)。连边
194-->49 194-->64 194-->81 -
取出 \(91, 100, 194\)，将其和 \(385\) 放回，得到答案。连边
385-->91 385-->100 385-->194
最终得到的图为：
6
给定结点类型为 BinaryTreeNode 的 3 个指针 p、q、rt,假设 rt↑为根结点，求距离结点p↑和结点 q↑最近的这两个结点的共同祖先结点。
首先得到结点p↑和结点 q↑到根结点rt↑的距离（深度）：
template <typename T>
int getDepth(BinaryTreeNode<T> *p, BinaryTreeNode<T> *rt) {
int dep = 0;
for (; p != rt; p = p->Parent()) dep++;
return dep;
}
那么结点p↑和结点 q↑到根结点rt↑的距离（深度）就分别为 getDepth(p, rt) 与 getDepth(q, rt)。
求LCA的过程如下，正确性是显然的（反证法）：
- 先通过把结点p↑和结点 q↑上移，调整到同一深度。
- 直到结点p↑和结点 q↑相等之前，不断将它们同时上移1个节点。
- 此时结点p↑和结点 q↑相等，值即为LCA。
具体代码如下：
template <typename T>
int getLCA(BinaryTreeNode<T> *p, BinaryTreeNode<T> *q, BinaryTreeNode<T> *rt) {
int dp = getDepth(p, rt), dq = getDepth(q, rt);
if (dp < dq) swap(p, q);
for (; dp > dq; dp--) p = p -> Parent();
while (p != q) {
p = p -> Parent();
q = q -> Parent();
}
return p;
}
