离散数学与结构(A) 第一次作业

Hw1

1

(10 分) 用逻辑符号写出以下集合的定义，允许使用 \(∀, ∃, ∧, ∨, ¬, →, ↔, =, ∈\)，英文字母和圆括号.
提示：例如，\(C = A ∩ B\) 的逻辑符号定义为 \(∀u(u ∈ C ↔ (u ∈ A ∧ u ∈ B))\).

(1)

(1) 给定集合A和B，A和B的并\(A∪B\).

即为\(\forall u(u\in C\leftrightarrow (u\in A \lor u\in B))\).

(2)

(2) 集合 A 中满足性质 P 的子集 S.

\(\forall x(x\in S\leftrightarrow (x\in A \land P(x)))\).

2

(10分) 在自然数集N上用数学归纳法定义加法+:N×N→N如下，给定α∈N:

1. α+1 = α∪{α}，
2. α+0=α,
3. 任意β∈N都有α+(β+1)=(α+β)+1.

证明:加法 + 满足交换律，即 α + β = β + α.

引理1：\(0+\beta = \beta = \beta + 0\)。

证明1：由2.知\(\beta + 0 = \beta\)，故只需证 \(0 + \beta = \beta\) 。
对 \(\beta\) 进行归纳：显然 \(\beta = 0\) 时成立。
其次，显然 \(0 + 1 = 0 \cup \{0\} = 1\)，故当 \(\beta = 1\)时也成立。
假设对 \(\beta = \gamma\) 成立\(0+\gamma = \gamma\)，下证其对 \(\beta = \gamma + 1\) 成立：
\(0 + (\gamma+1) = (0+\gamma) + 1\)，由归纳假设有
\(0+(\gamma + 1) = \gamma + 1\)，得证。

引理2：\((\beta + \alpha) + 1 = (\beta + 1) + \alpha\)

证明2：对 \(\alpha\) 进行归纳：
当 \(\alpha = 0\) 时，

\[\begin{aligned} &(\beta + 0) + 1 = (\beta + 1) + 0 &\\ \iff &\beta + 1 = \beta + 1 &(\because \gamma + 0 = \gamma)\\ \end{aligned} \]

​ 显然成立。
​ 若 \(\alpha = \gamma\) 时成立 \((\beta + \gamma) + 1 = (\beta + 1) + \gamma\) ，下证 \(\alpha = \gamma + 1\) 时成立。

\[\begin{aligned} &(\beta + \alpha) + 1 = (\beta + 1) + \alpha &\\ \iff& (\beta + (\gamma + 1)) + 1 = (\beta + 1) + (\gamma + 1) &\\ \iff& ((\beta + \gamma) + 1) + 1 = ((\beta + 1) + \gamma) + 1 &\\ \iff& ((\beta + 1) + \gamma) + 1 = ((\beta + 1) + \gamma) + 1 & (\because (\beta + \gamma) + 1 = (\beta + 1) + \gamma)\\ \end{aligned} \]

​ 得证。

证明：对 \(\beta\) 进行归纳。由引理1，当 \(\beta = 0\) 时，有 \(\alpha + \beta = \alpha + 0 = 0 + \alpha = \beta + \alpha\) 成立。
假设对 \(\beta = \gamma\) 成立 \(\alpha + \gamma = \gamma + \alpha\) 。当 \(\beta = \gamma + 1\) 时，相当于证：

\[\begin{aligned} \alpha + (\gamma + 1) &= (\gamma + 1) + \alpha \\ (\alpha + \gamma) + 1 &= (\gamma + 1) + \alpha \\ (\gamma + \alpha) + 1 &= (\gamma + 1) + \alpha \\ \end{aligned} \]

​ 由引理2，得证。\(\blacksquare\)

3

(10分) 设 \(I = [0,1]\)，将 \(a \in I\) 写为二进制小数 \(a = 0.a_1a_2\ldots\)，其中 \(a_i = \{0,1\}\)。

(1)

证明：\(\card (I) = \card (\mathcal P(\mathbb N))\)，因此根据 Cantor 定理 \(\card(\R) \ge \card(I) > \card(\N)\)

构造一个 \(I\) 到 \(\mathcal P(\N)\) 的映射 \(f\)：

\[f(0.a_1a_2\ldots) = \{n\in \N \mid a_{n+1} = 1\} \]

它显然是双射，故 \(\card (I) = \card (\mathcal P(\mathbb N))\)。\(\blacksquare\)

(2)

不使用 Cantor 定理，证明 I 不是可数集，即 I 不能写为 \(\{a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots , a^{(n)}, \cdots \}\) 的形式.

提示：用反证法，假设 I 中的数可以写成一列，构造一个不属于这一列的数 \(a^∗ ∈ I\).

反证法，假设 I 中的数可以写成一列 \(\{a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots , a^{(n)}, \cdots \}\)：

构造 \(a^* = 0.\overline{a^{(1)}_1a^{(2)}_2\ldots a^{(n)}_n\dots}\)，其中定义 \(\overline{a^{(n)}_n} = 1 - a^{(n)}_n\) 。

显然 \(\forall n \in \mathbb N^*\)，有\(a^* \ne a_n^{(n)}\)。\(\blacksquare\)

4

设

\[E = \{(x^i)^{\infty}_{i=1} : x^i \in [0,1]\} \]

即 01 之间小数构成的无穷序列的集合。再设

\[F = \{(y^i)^{\infty}_{i=1} : y^i \in \{0,1\}\} \]

即无穷 01 序列构成的集合.

(1)

证明：\(\card(E) = \card(F)\)

构造 \(E\) 到 \(F\) 的双射：

设 \(x^i\) 的在二进制下的小数表示为 \(0.a^i_1a^i_2\cdots\) ，将它排成一个矩阵：

\[\begin{matrix} a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 & \cdots \\ a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 & \cdots \\ a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix} \]

显然可以把它排成一列：

\[\{a^1_1, a^2_1, a_2^1, a^3_1, a^2_2, a^1_3, \ldots \}\in F \]

\(F\) 到 \(E\) 类似，只需要额外处理一下 \((0.011111111)_2 = (0.1)_2\) 等情况，只需除二后选择性\(+(0.1)_2\)即可。因此它显然是双射。

(2)

由第(1)小问， \(\card(E) = \card(F)\)；由作业题第3.题，\(\card(F) = \card([0,1])\)，因此 \(\card(F) = \card([0,1])\)。

5.

回忆以下三个概念:

• 满足 ZF 公理系统无穷公理的集合 S 称为归纳集，即 ∅ ∈ S 并且如果 x ∈ S 就一定有 x∪{x} ∈ S. 自然数集 N 是最小的归纳集，即如果 Y ⊆ N 是归纳集，那么 Y = N.
• 集合T 被称为传递集如果由x∈T 可以推出x⊆T.
• 给定关系 R，称集合 T 有R-极小元 t 如果不存在 z ∈ T 使得 zRt，特别地，R 可以是 ∈.
• 偏序集 (S, <) 上的序关系 < 被称为良序如果 < 是严格全序并且任意非空 T ⊆ S 都有 <-极

小元.

(1)

证明:如果 X 是归纳集，那么 Z = {x ∈ X : x ⊆ X} 是归纳集.

因为 \(X\) 是归纳集，故 \(\varnothing\in X\) 。又因为对任意 \(X\) 都有 \(\varnothing \sube X\) ，故而 \(\varnothing \in Z\)。

只需证明 \(x\in Z \Longrightarrow x\cup\{x\}\in Z\) 即可。

若 \(x\in Z\) ，由 \(Z\) 的定义知 \(x\in X\)。因此，\(\{x\}\sube X\)。

又因为 \(x\sube X\)，因此\(x\cup\{x\}\sube X\)，得证。

(2)

证明:如果 X 是归纳集，那么 Y = {x ∈ X : x 是传递集且其每一个非空子集 z 都有 ∈-极小元} 是归纳集.

提示:对于 ∈-极小元的证明，分为 x∩z = ∅ 和 x∩z ̸= ∅ 两种情况讨论.

容易由定义验证 \(\varnothing\in Y\)。只需证明 \(x\in Y \Longrightarrow x\cup\{x\}\in Y\) 即可。

因为 \(X\) 是归纳集，所以 \(x\cup \{x\}\in X\)。因此，只需证 \(x\cup \{x\}\) 是传递集且其每一个非空子集 \(z\) 都有 \(∈\)-极小元。

考虑 \(y\in x\cup \{x\}\)：

1. 若 \(y\in x\)，由 \(x\in Y\) 知， \(x\) 是传递集，故 \(y\in x\to y\sube x\)。
2. 若 \(y = x\)，则有 \(y = x\sube x\cup \{x\}\) 。

因此， \(x\cup \{x\}\) 是传递集。

再证 \(x\cup \{x\}\) 的每一个非空子集 \(z\) 都有 \(∈\)-极小元。

考虑非空子集 \(z \sube x\cup \{x\}\)

1. 若 \(z \sube x\)：由 \(x\in Y\) 知， \(x\) 的每一个非空子集 \(z\) 都有 \(∈\)-极小元。因此， \(z\) 有 \(∈\)-极小元。

2. 否则，设 \(z = z' \cup \{x\}\)， \(z'\sube x\) 。

   若 \(z'= \varnothing\)，则 \(z\) 的 \(∈\)-极小元即为 \(x\)。

   否则，若 \(z'\) 非空，设其 \(∈\)-极小元为 \(y\)。

   因为 \(y\in z' \sube x\)，故 \(y \in x\)，因此 \(y\) 是 \(z=z'\cup\{x\}\) 的 \(∈\)-极小元：

综上， \(x\in Y \Longrightarrow x\cup\{x\}\in Y\) 。

因此， \(Y\) 是归纳集。

(3)

证明:所有自然数、自然数集 N 都是传递集并且被 ∈ 良序化，因此所有自然数、自然数集 N 都是序数.

提示:对 N 证明可良序化的时候，验证全序可以先证明如果 m ∈ n 那么 m ∪ {m} ∈ n ∪ {n}， 验证严格全序利用习题课结论 n ∈/ n，验证 ∈-极小元对非空子集 S ∋ n 考虑 S ∩ (n + 1).

对自然数 \(n = \{0, 1, \ldots, n-1\}\) ：

1. 因为 \(k\in n\to k = \{0, 1, \ldots, k-1\} \subseteq n\)，所以 \(n\) 是传递集。

2. 对 \(S\sube n\) ，因为 \(S\) 有限，故只需验证所有 \(x\in S\) 的\(\in\)-极小性即可。因此， \(n\) 可以被 \(\in\) 良序化。

对自然数集 \(\mathbb N\)：

1. 因为 \(k\in \N\to k = \{0, 1, \ldots, k-1\} \subseteq \N\)，所以 \(\N\) 是传递集。
2. 对某个 \(S\sube \N\) ，任取 \(x\in S\) ，易知 \(x\) 有限，且因为 \(\in\) 是严格全序，对所有 \(z\notin x\) 都有 \(z = x\) 或 \(x \in z\) 。因此，只需考虑 \(z\in x\cap S\)。因为 \(x\cap S \sube x+1\) ，所以它有 \(\in\)-极小元。