离散数学与结构(A)/第2次作业 数理逻辑

数理逻辑

1.

(10 分) Łukasiewicz 形式系统 L 中有无穷条公理，但是这些公理都是按照三条模式生成的. 具体来说，设 A , B, C 是任意三条 w.f.f.，那么以下三条都是公理:

• (L1) A →(B→A),
• (L2) (A →(B→C))→((A →B)→(A →C)),
• (L3) (¬A →¬B)→(B→A).

不使用完备性定理，证明:L 中的每一条公理 D 都是重言式，即 ⊨L D.

首先验证 (L1) 为重言式。

A	→	(B	→	A)
T	T	T	T	T
T	T	F	T	T
F	T	T	F	F
F	T	F	T	F

因为 (L1) 对任何真值指派为真，所以 (L1)是重言式。同理可验证 (L2)(L3) 也为重言式。

因为 D 是公理，知 D 是由 (L1)(L2)(L3) 中的一条生成的，不妨设是由 (L2) 生成的。

假设 D 分别将 A, B, C 替换成了某个 w.f.f. ，则对一个固定的解释 v，有 \(v(A), v(B), v(C)\) 固定。

又因为 v(D) 相当于对 \(v(A), v(B), v(C)\) 进行逻辑运算，由 (L2) 为重言式，知 \(v(D) = \top\)。

因而， D 对任何解释 v 都满足 \(v(D) = \top\)，故 D 是重言式。

2.

(10 分) 在 Łukasiewicz 形式系统 L 中，设 \(\mathscr{A}, \mathscr{B}, \mathscr{C}\) 是 w.f.f.，不使用演绎定理和完备性定理(sound-ness theorem 和 adequacy theorem)，证明:

\[\{\mathscr{A},\mathscr{B}→(\mathscr{A} →\mathscr{C})\}⊢_L \mathscr{B}→\mathscr{C} \]

1. \(\mathscr{A}\)
2. \(\mathscr{B}\to (\mathscr{A}\to \mathscr{C})\)
3. 由 (L2) 知 \((\mathscr{B}\to (\mathscr{A}\to \mathscr{C}))\to ((\mathscr{B}\to \mathscr{A})\to(\mathscr{B}\to \mathscr{C}))\)
4. 由 2. 和 3. ，由肯定前件知 \((\mathscr{B}\to \mathscr{A})\to (\mathscr{B}\to \mathscr{C})\)
5. 由 (L1) 知 \(\mathscr{A}\to (\mathscr{B}\to \mathscr{A})\) 。
6. 由 1. 和 5. ，由肯定前件知 \(\mathscr{B}\to \mathscr{A}\)。
7. 由 6. 和 4. ，由MP知 \(\mathscr{B}\to \mathscr{C}\)。得证。

3.

(10 分) 证明 \(K_\mathscr{L}\) 中的演绎定理.

演绎定理: 对 \(K_\mathscr{L}\) 中的 w.f.f. \(\mathscr{A}, \mathscr{B}\) 和 w.f.f. 的集合 \(Γ\), 如果 \(Γ∪\{\mathscr{A}\} ⊢ \mathscr{B}\)，且演绎过程中不包含涉及自由出现在 \(\mathscr{A}\) 中的变元的泛化，那么 \(Γ ⊢ (\mathscr{A} → \mathscr{B})\).

提示:参考 Łukasiewicz 形式系统上演绎定理的证明，对证明长度 \(n\) 归纳.

首先，证明 \(⊢\mathscr{A}\to \mathscr{A}\)。

引理1：若 \(\mathscr{A}\to \mathscr{B}\) 且 \(\mathscr{A}\to (\mathscr{B}\to \mathscr{C})\)，则 \(\mathscr{A}\to \mathscr{C}\)。

证明：

1. (条件) \(\mathscr{A}\to \mathscr{B}\)
2. (条件) \(\mathscr{A}\to (\mathscr{B}\to \mathscr{C})\)
3. (L2) \((\mathscr{A}\to (\mathscr{B}\to \mathscr{C}))\to (\mathscr{A}\to \mathscr{B})\to (\mathscr{A}\to \mathscr{C}))\)。
4. (2., 3., MP) \((\mathscr{A}\to \mathscr{B})\to (\mathscr{A}\to \mathscr{C})\)
5. (1., 4., MP) \(\mathscr{A}\to \mathscr{C}\)。

引理2：\(\mathscr{A}\to \mathscr{A}\)。

证明：

1. (L1) \(⊢\mathscr{A}\to (\mathscr{A}\to \mathscr{A})\)
2. (L1) \(⊢\mathscr{A} \to ((\mathscr{A}\to \mathscr{A})\to \mathscr{A})\)
3. (1., 2., 引理1) \(⊢\mathscr{A}\to \mathscr{A}\)

---

数学归纳法：

1. 若 \(Γ∪\{\mathscr{A}\} ⊢ \mathscr{B}\) 的证明只有 \(1\) 步，则 \(\mathscr{B} = \mathscr{A}\) 或 \(\mathscr{B} \in \Gamma\)，或 \(\vdash \mathscr{B}\)。

   • 若 \(\mathscr{B} = \mathscr{A}\) ：因为 \(\mathscr{A}\to \mathscr{A}\) ，知 \(Γ ⊢ \mathscr{A}\to \mathscr{B}\)。
   • 若 \(\mathscr{B} \in \Gamma\)：因为 \(\mathscr{B}\to (\mathscr{A}\to \mathscr{B})\)，由 MP 知 \(Γ ⊢ \mathscr{A}\to \mathscr{B}\)。
   • 若 \(\vdash \mathscr{B}\) ：仿上易知 \(Γ ⊢ \mathscr{A}\to \mathscr{B}\)。

   得证。

2. 假设该结论对 \(\le n\) 步的证明成立，下证该结论对 \(n+1\) 步的证明成立：

   • 如果最后一步是对形如 \(\mathscr{C}\to \mathscr{B}\) 和 \(\mathscr{C}\) 的 w.f.f. 应用 MP：

     • 考虑 \(Γ∪\{\mathscr{A}\} ⊢ (\mathscr{C}\to \mathscr{B})\) 和 \(Γ∪\{\mathscr{A}\} ⊢ \mathscr{C}\) 的证明，知它们的步数均 \(\le n\)。

       因此，由归纳假设，有 \(\Gamma \vdash (\mathscr{A}\to (\mathscr{C}\to \mathscr{B}))\) 以及 \(\Gamma \vdash (\mathscr{A}\to \mathscr{C})\)。

       由引理1，知 \(\Gamma \vdash \mathscr{A}\to \mathscr{B}\)。

   • 如果最后一步是对 \(\mathscr{C}\) 进行泛化得到 \((\forall x_i) \mathscr{C}\)：

     • 由归纳假设，有 \(\Gamma \vdash \mathscr{A}\to \mathscr{C}\)。
     • 将它进行泛化，知 \(\Gamma \vdash (\forall x_i)(\mathscr{A}\to \mathscr{C})\)。
     • 由题设“演绎过程中不包含涉及自由出现在 \mathscr{A} 中的变元的泛化”，知 \(x_i\) 在 \(\mathscr{A}\) 中没有自由出现。故由 (K6)，知 \(\vdash (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{C}) → (\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{C})\)。
     • 因此，由 MP 得 \(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{C}\)，得证。

4.

(10 分) 证明以下命题(如果使用演绎定理，请在演绎过程中使用到泛化规则的步骤表明，并验证演绎定理的条件).

(1)

如果 \(x_i\) 不在 \(\mathscr{A}\) 中自由出现，那么 \(⊢_{K_L} (\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})\).

为利用 Adequacy theorem 证明该式，下面证明该式是语义有效的。

首先，观察到，因为 \(x_i\) 不在 \(\mathscr{A}\) 中自由出现，由公理 (K4) 有 \((\forall x_i) \mathscr{A}\to \mathscr{A}\) 。由 \(v(\mathscr{A}) = F\) ，知 \(v((\forall x_i)\mathscr{A}) = F\) 。因此，对任何与其 \(i\)-等值的解释 \(v_i\)，都有 \(v_i(\mathscr{A}) = v(\mathscr{A}) = F\)。

当 \(v(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) = F\) 时，由解释 \(v\) 的性质，知 \(v((\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = T\)。之后，只需考虑使得 \(v(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) = T\) 的解释 \(v\)。

考虑使得 \(v(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) = T\) 为真的解释 \(v\) 组成的集合 \(I\) ，以 \(v(\mathscr{A})\) 的值为标准，将之分为两个集合 \(I_{v(\mathscr{A})=T}\) 与 \(I_{v(\mathscr{A})=F}\)，下面对此分别考虑。

1. 考虑 \(I_{v(\mathscr{A})=F}\) 中的任一解释 \(v\)。由之前的观察，知对任何 \(v_i\) 都有 \(v_i(\mathscr{A}) = v(\mathscr{A}) = F\)，故 \(v_i(\mathscr{A} → \mathscr{B}) = F\)，因而 \(v((∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = F\)。故 \(v((\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = T\) 。

2. 考虑 \(I_{v(\mathscr{A}) = T}\) 中的任一解释 \(v\)。由 \(v(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) = T\) 与 \(v(\mathscr{A}) = T\)，知 \(v((\forall x_i)\mathscr{B}) = T\) 。因此，对任何 \(v_i\) 都有 \(v_i(\mathscr{B}) = T\)。由之前的观察，恒有 \(v_i(\mathscr{A}) = T\) 成立，因此 \(v_i(\mathscr{A}\to \mathscr{B})\) 恒真，故 \(v((∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = T\)。故 \(v((\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = T\) 。

综上，式 \((\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})\) 语义有效，由 Adequacy theorem 即得 \(⊢_{K_L} (\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})\) 。

(2)

如果 \(x_i\) 在 \(\mathscr{A}(x_i)\) 中自由出现，且命题变元 \(x_j\) 和量词 \(∀x_j\) 都在 \(\mathscr{A}(x_i)\) 中不出现，那么 \(⊢_{K_L} ((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j))\).

为利用 Adequacy theorem 证明该式，下面证明该式是语义有效的。考虑任一解释 \(v\) ：

1. 若 \(v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = F\)，立刻得到 \(v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j)) = T\)。

2. 若 \(v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = T\)。

   因为 \(x_j\) 在 \(\mathscr{A}(x_i)\) 中不出现，所以（容易验证）对任何与 \(v\) \(j\)-等价的 \(v_j\) 有 \(v_j((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = T\)。

   因为 \(\forall x_j\) 在 \(\mathscr{A}(x_i)\) 中不出现，所以 \(x_j\) 在 \(\mathscr{A}(x_i)\) 中对 \(x_i\) 是自由的。

   因此，由公理 (K5) 有 \((\forall x_i)\mathscr{A}(x_i)\to \mathscr{A}(x_j)\)。

   又由 Soundness Theorem ，有 \(v_j((\forall x_i)\mathscr{A}(x_i)\to \mathscr{A}(x_j)) = T\)。

   又因为 \(v_j((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = T\) ，知 \(v_j(\mathscr{A}(x_j)) = T\)。

   由 \(v_j\) 的任意性，知 \(v((∀x_j)\mathscr{A} (x_j)) = T\)。

   因此，\(v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j)) = T\)。

综上，对任一解释 \(v\) 都有 \(v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j)) = T\)，由 Adequacy theorem 知 \(⊢_{K_L} ((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j))\)。

5.

(10 分) 本题举例说明一阶形式语言如何用来描述数学对象. 设 \(L_G\) 是一个一阶形式语言，包含所有 \(K_L\) 的符号、w.f.f.、公理和推导规则. 此外，它还另外有如下公理(模式):

• (E1) \(A^2_1(x_1, x_1)\) 是公理.

• (E2) 对任意项 \(t_1,...,t_n\) 和任何函数符 \(f_i^n\)，如下 w.f.f.是公理

  \[A^2_1 (t_k,u) → A^2_1 (f_i^n (t_1,...,t_k,...,t_n), f_i^n (t_1,...,u,...,t_n)). \]

• (E3) 对任意项 \(t_1,...,t_n\) 和任何谓词符 \(A^n_i\)，如下 w.f.f. 是公理

  \[A^2_1 (t_k,u) → (A^n_i (t_1,...,t_k,...,t_n) → A^n_i (t_1,...,u,...,t_n)). \]

• (G1) \(A^2_1(f_1^2(f_1^2(x_1, x_2), x_3), f_1^2(x_1, f_1^2(x_2, x_3)))\) 是公理.

• (G2) \(A^2_1(f_1^2(a_1, x_1), x_1)\) 是公理.

• (G3) \(A^2_1(f_1^2(f_1(x_1), x_1), a_1)\) 是公理.

给定下面两个解释，只用考虑公理 (E1)—(G3)，判断他们是否是 LG 的模型，并简要说明理由.

(1)

论域 \(D = \mathbb Z\)；\(A^2_1\)：整数上的等号 \(=\)；\(f_1^2\)：整数上的加法；\(f_1^1\)：求整数的相反数，即 \(f_1^1(a) = −a\)；\(a_1\)：数 \(0\).

逐一验证 (E1)--(G3):

• (E1) 相当于在说 \(A_1^2\) 有自反性， \(A^2_1(x_1, x_1)\) 对应的是 \(x_1 = x_1\)，对所有 \(x_1 \in \mathbb Z\) 成立。

• (E2) 相当于在说 \(A_1^2\) 是 \(f_i^n\) 上的等价/替代关系。分别对 \(f_1^2\)(\(+\)) 和 \(f_1^1\)(\(-\)) 进行验证：

  • \(f_1^2\)：(E2) 相当于：

    1. \(t_1 = u \to t_1+t_2 = u + t_2\)
    2. \(t_2 = u \to t_1+t_2 = t_1 + u\)

    均成立。

  • \(f^1_1\)：(E2) 相当于 \(t_1 = u \to (-t_1) = (-u)\)，成立。

• (E3) 相当于在说 \(A_1^2\) 是 \(A_i^n\) 上的等价/替代关系。

  只需对 \(A_1^2\) 进行验证： \(t_1 = u \to t_1 = u\) 显然成立。

• (G1) 相当于 \((x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2+x_3)\) ，由整数加法的结合律知其成立。

• (G2) 相当于 \((0 + x_1) = x_1\)，由整数加法单位元 \(0\) 的性质知其成立。

• (G3) 相当于 \(((-x_1)+x_1) = 0\)，由 \((-x_1)\) 是 \(x_1\) 的整数加法逆元知成立。

因此，(1) 是 \(L_G\) 的模型。由上面的验证过程知，若\(A_1^2\) 是相等关系、\((f_1^2, D)\) 构成群、 \(a_1\) 是单位元、 \(f_1^1(a)\) 是 \(a\) 的逆元、即满足(E1)--(G3)，故而是 \(L_G\) 的模型。

(2)

论域 \(D\)：\(n\) 阶可逆的矩阵集合；\(A^2_1\)：n 阶方阵上的等号 \(=\)；\(f_1^2\)：\(n\) 阶方阵的乘法；\(f^1_1\)：求 \(n\) 阶可逆矩阵的逆，即 \(f_1^1(M) = M^{−1}\)；\(a_1\)：\(n\) 阶单位方阵 \(I\).

容易验证，\(A_1^2\) 是相等关系，\((M_n,\times)\) 构成群，\(I\) 是单位元，\(f_1^1(M) = M^{-1}\) 是 \(M\) 的逆元。由前一题的过程知 (2) 是 \(L_G\) 的模型。