离散数学与结构(A)/第2次作业 数理逻辑

数理逻辑

1.

(10 分) Łukasiewicz 形式系统 L 中有无穷条公理，但是这些公理都是按照三条模式生成的. 具体来说，设 A , B, C 是任意三条 w.f.f.，那么以下三条都是公理:

• (L1) A →(B→A),
• (L2) (A →(B→C))→((A →B)→(A →C)),
• (L3) (¬A →¬B)→(B→A).

不使用完备性定理，证明:L 中的每一条公理 D 都是重言式，即 ⊨L D.

首先验证 (L1) 为重言式。

A	→	(B	→	A)
T	T	T	T	T
T	T	F	T	T
F	T	T	F	F
F	T	F	T	F

因为 (L1) 对任何真值指派为真，所以 (L1)是重言式。同理可验证 (L2)(L3) 也为重言式。

因为 D 是公理，知 D 是由 (L1)(L2)(L3) 中的一条生成的，不妨设是由 (L2) 生成的。

假设 D 分别将 A, B, C 替换成了某个 w.f.f. ，则对一个固定的解释 v，有 $v(A), v(B), v(C)$ 固定。

又因为 v(D) 相当于对 $v(A), v(B), v(C)$ 进行逻辑运算，由 (L2) 为重言式，知 $v(D) = \top$。

因而， D 对任何解释 v 都满足 $v(D) = \top$，故 D 是重言式。

2.

(10 分) 在 Łukasiewicz 形式系统 L 中，设 $\mathscr{A}, \mathscr{B}, \mathscr{C}$ 是 w.f.f.，不使用演绎定理和完备性定理(sound-ness theorem 和 adequacy theorem)，证明:

$$\{\mathscr{A},\mathscr{B}→(\mathscr{A} →\mathscr{C})\}⊢_L \mathscr{B}→\mathscr{C}$$

1. $\mathscr{A}$
2. $\mathscr{B}\to (\mathscr{A}\to \mathscr{C})$
3. 由 (L2) 知 $(\mathscr{B}\to (\mathscr{A}\to \mathscr{C}))\to ((\mathscr{B}\to \mathscr{A})\to(\mathscr{B}\to \mathscr{C}))$
4. 由 2. 和 3. ，由肯定前件知 $(\mathscr{B}\to \mathscr{A})\to (\mathscr{B}\to \mathscr{C})$
5. 由 (L1) 知 $\mathscr{A}\to (\mathscr{B}\to \mathscr{A})$ 。
6. 由 1. 和 5. ，由肯定前件知 $\mathscr{B}\to \mathscr{A}$。
7. 由 6. 和 4. ，由MP知 $\mathscr{B}\to \mathscr{C}$。得证。

3.

(10 分) 证明 $K_\mathscr{L}$ 中的演绎定理.

演绎定理: 对 $K_\mathscr{L}$ 中的 w.f.f. $\mathscr{A}, \mathscr{B}$ 和 w.f.f. 的集合 $Γ$, 如果 $Γ∪\{\mathscr{A}\} ⊢ \mathscr{B}$，且演绎过程中不包含涉及自由出现在 $\mathscr{A}$ 中的变元的泛化，那么 $Γ ⊢ (\mathscr{A} → \mathscr{B})$.

提示:参考 Łukasiewicz 形式系统上演绎定理的证明，对证明长度 $n$ 归纳.

首先，证明 $⊢\mathscr{A}\to \mathscr{A}$。

引理1：若 $\mathscr{A}\to \mathscr{B}$ 且 $\mathscr{A}\to (\mathscr{B}\to \mathscr{C})$，则 $\mathscr{A}\to \mathscr{C}$。

证明：

1. (条件) $\mathscr{A}\to \mathscr{B}$
2. (条件) $\mathscr{A}\to (\mathscr{B}\to \mathscr{C})$
3. (L2) $(\mathscr{A}\to (\mathscr{B}\to \mathscr{C}))\to (\mathscr{A}\to \mathscr{B})\to (\mathscr{A}\to \mathscr{C}))$。
4. (2., 3., MP) $(\mathscr{A}\to \mathscr{B})\to (\mathscr{A}\to \mathscr{C})$
5. (1., 4., MP) $\mathscr{A}\to \mathscr{C}$。

引理2：$\mathscr{A}\to \mathscr{A}$。

证明：

1. (L1) $⊢\mathscr{A}\to (\mathscr{A}\to \mathscr{A})$
2. (L1) $⊢\mathscr{A} \to ((\mathscr{A}\to \mathscr{A})\to \mathscr{A})$
3. (1., 2., 引理1) $⊢\mathscr{A}\to \mathscr{A}$

---

数学归纳法：

1. 若 $Γ∪\{\mathscr{A}\} ⊢ \mathscr{B}$ 的证明只有 $1$ 步，则 $\mathscr{B} = \mathscr{A}$ 或 $\mathscr{B} \in \Gamma$，或 $\vdash \mathscr{B}$。

   • 若 $\mathscr{B} = \mathscr{A}$ ：因为 $\mathscr{A}\to \mathscr{A}$ ，知 $Γ ⊢ \mathscr{A}\to \mathscr{B}$。
   • 若 $\mathscr{B} \in \Gamma$：因为 $\mathscr{B}\to (\mathscr{A}\to \mathscr{B})$，由 MP 知 $Γ ⊢ \mathscr{A}\to \mathscr{B}$。
   • 若 $\vdash \mathscr{B}$ ：仿上易知 $Γ ⊢ \mathscr{A}\to \mathscr{B}$。

   得证。

2. 假设该结论对 $\le n$ 步的证明成立，下证该结论对 $n+1$ 步的证明成立：

   • 如果最后一步是对形如 $\mathscr{C}\to \mathscr{B}$ 和 $\mathscr{C}$ 的 w.f.f. 应用 MP：

     • 考虑 $Γ∪\{\mathscr{A}\} ⊢ (\mathscr{C}\to \mathscr{B})$ 和 $Γ∪\{\mathscr{A}\} ⊢ \mathscr{C}$ 的证明，知它们的步数均 $\le n$。

       因此，由归纳假设，有 $\Gamma \vdash (\mathscr{A}\to (\mathscr{C}\to \mathscr{B}))$ 以及 $\Gamma \vdash (\mathscr{A}\to \mathscr{C})$。

       由引理1，知 $\Gamma \vdash \mathscr{A}\to \mathscr{B}$。

   • 如果最后一步是对 $\mathscr{C}$ 进行泛化得到 $(\forall x_i) \mathscr{C}$：

     • 由归纳假设，有 $\Gamma \vdash \mathscr{A}\to \mathscr{C}$。
     • 将它进行泛化，知 $\Gamma \vdash (\forall x_i)(\mathscr{A}\to \mathscr{C})$。
     • 由题设“演绎过程中不包含涉及自由出现在 \mathscr{A} 中的变元的泛化”，知 $x_i$ 在 $\mathscr{A}$ 中没有自由出现。故由 (K6)，知 $\vdash (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{C}) → (\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{C})$。
     • 因此，由 MP 得 $\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{C}$，得证。

4.

(10 分) 证明以下命题(如果使用演绎定理，请在演绎过程中使用到泛化规则的步骤表明，并验证演绎定理的条件).

(1)

如果 $x_i$ 不在 $\mathscr{A}$ 中自由出现，那么 $⊢_{K_L} (\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})$.

为利用 Adequacy theorem 证明该式，下面证明该式是语义有效的。

首先，观察到，因为 $x_i$ 不在 $\mathscr{A}$ 中自由出现，由公理 (K4) 有 $(\forall x_i) \mathscr{A}\to \mathscr{A}$ 。由 $v(\mathscr{A}) = F$ ，知 $v((\forall x_i)\mathscr{A}) = F$ 。因此，对任何与其 $i$-等值的解释 $v_i$，都有 $v_i(\mathscr{A}) = v(\mathscr{A}) = F$。

当 $v(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) = F$ 时，由解释 $v$ 的性质，知 $v((\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = T$。之后，只需考虑使得 $v(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) = T$ 的解释 $v$。

考虑使得 $v(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) = T$ 为真的解释 $v$ 组成的集合 $I$ ，以 $v(\mathscr{A})$ 的值为标准，将之分为两个集合 $I_{v(\mathscr{A})=T}$ 与 $I_{v(\mathscr{A})=F}$，下面对此分别考虑。

1. 考虑 $I_{v(\mathscr{A})=F}$ 中的任一解释 $v$。由之前的观察，知对任何 $v_i$ 都有 $v_i(\mathscr{A}) = v(\mathscr{A}) = F$，故 $v_i(\mathscr{A} → \mathscr{B}) = F$，因而 $v((∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = F$。故 $v((\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = T$ 。

2. 考虑 $I_{v(\mathscr{A}) = T}$ 中的任一解释 $v$。由 $v(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) = T$ 与 $v(\mathscr{A}) = T$，知 $v((\forall x_i)\mathscr{B}) = T$ 。因此，对任何 $v_i$ 都有 $v_i(\mathscr{B}) = T$。由之前的观察，恒有 $v_i(\mathscr{A}) = T$ 成立，因此 $v_i(\mathscr{A}\to \mathscr{B})$ 恒真，故 $v((∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = T$。故 $v((\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})) = T$ 。

综上，式 $(\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})$ 语义有效，由 Adequacy theorem 即得 $⊢_{K_L} (\mathscr{A} → (∀x_i)\mathscr{B}) → (∀x_i)(\mathscr{A} → \mathscr{B})$ 。

(2)

如果 $x_i$ 在 $\mathscr{A}(x_i)$ 中自由出现，且命题变元 $x_j$ 和量词 $∀x_j$ 都在 $\mathscr{A}(x_i)$ 中不出现，那么 $⊢_{K_L} ((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j))$.

为利用 Adequacy theorem 证明该式，下面证明该式是语义有效的。考虑任一解释 $v$ ：

1. 若 $v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = F$，立刻得到 $v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j)) = T$。

2. 若 $v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = T$。

   因为 $x_j$ 在 $\mathscr{A}(x_i)$ 中不出现，所以（容易验证）对任何与 $v$ $j$-等价的 $v_j$ 有 $v_j((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = T$。

   因为 $\forall x_j$ 在 $\mathscr{A}(x_i)$ 中不出现，所以 $x_j$ 在 $\mathscr{A}(x_i)$ 中对 $x_i$ 是自由的。

   因此，由公理 (K5) 有 $(\forall x_i)\mathscr{A}(x_i)\to \mathscr{A}(x_j)$。

   又由 Soundness Theorem ，有 $v_j((\forall x_i)\mathscr{A}(x_i)\to \mathscr{A}(x_j)) = T$。

   又因为 $v_j((∀x_i)\mathscr{A}(x_i)) = T$ ，知 $v_j(\mathscr{A}(x_j)) = T$。

   由 $v_j$ 的任意性，知 $v((∀x_j)\mathscr{A} (x_j)) = T$。

   因此，$v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j)) = T$。

综上，对任一解释 $v$ 都有 $v((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j)) = T$，由 Adequacy theorem 知 $⊢_{K_L} ((∀x_i)\mathscr{A}(x_i) → (∀x_j)\mathscr{A} (x_j))$。

5.

(10 分) 本题举例说明一阶形式语言如何用来描述数学对象. 设 $L_G$ 是一个一阶形式语言，包含所有 $K_L$ 的符号、w.f.f.、公理和推导规则. 此外，它还另外有如下公理(模式):

• (E1) $A^2_1(x_1, x_1)$ 是公理.

• (E2) 对任意项 $t_1,...,t_n$ 和任何函数符 $f_i^n$，如下 w.f.f.是公理

  $$A^2_1 (t_k,u) → A^2_1 (f_i^n (t_1,...,t_k,...,t_n), f_i^n (t_1,...,u,...,t_n)).$$

• (E3) 对任意项 $t_1,...,t_n$ 和任何谓词符 $A^n_i$，如下 w.f.f. 是公理

  $$A^2_1 (t_k,u) → (A^n_i (t_1,...,t_k,...,t_n) → A^n_i (t_1,...,u,...,t_n)).$$

• (G1) $A^2_1(f_1^2(f_1^2(x_1, x_2), x_3), f_1^2(x_1, f_1^2(x_2, x_3)))$ 是公理.

• (G2) $A^2_1(f_1^2(a_1, x_1), x_1)$ 是公理.

• (G3) $A^2_1(f_1^2(f_1(x_1), x_1), a_1)$ 是公理.

给定下面两个解释，只用考虑公理 (E1)—(G3)，判断他们是否是 LG 的模型，并简要说明理由.

(1)

论域 $D = \mathbb Z$；$A^2_1$：整数上的等号 $=$；$f_1^2$：整数上的加法；$f_1^1$：求整数的相反数，即 $f_1^1(a) = −a$；$a_1$：数 $0$.

逐一验证 (E1)--(G3):

• (E1) 相当于在说 $A_1^2$ 有自反性， $A^2_1(x_1, x_1)$ 对应的是 $x_1 = x_1$，对所有 $x_1 \in \mathbb Z$ 成立。

• (E2) 相当于在说 $A_1^2$ 是 $f_i^n$ 上的等价/替代关系。分别对 $f_1^2$($+$) 和 $f_1^1$($-$) 进行验证：

  • $f_1^2$：(E2) 相当于：

    1. $t_1 = u \to t_1+t_2 = u + t_2$
    2. $t_2 = u \to t_1+t_2 = t_1 + u$

    均成立。

  • $f^1_1$：(E2) 相当于 $t_1 = u \to (-t_1) = (-u)$，成立。

• (E3) 相当于在说 $A_1^2$ 是 $A_i^n$ 上的等价/替代关系。

  只需对 $A_1^2$ 进行验证： $t_1 = u \to t_1 = u$ 显然成立。

• (G1) 相当于 $(x_1 + x_2) + x_3 = x_1 + (x_2+x_3)$ ，由整数加法的结合律知其成立。

• (G2) 相当于 $(0 + x_1) = x_1$，由整数加法单位元 $0$ 的性质知其成立。

• (G3) 相当于 $((-x_1)+x_1) = 0$，由 $(-x_1)$ 是 $x_1$ 的整数加法逆元知成立。

因此，(1) 是 $L_G$ 的模型。由上面的验证过程知，若$A_1^2$ 是相等关系、$(f_1^2, D)$ 构成群、 $a_1$ 是单位元、 $f_1^1(a)$ 是 $a$ 的逆元、即满足(E1)--(G3)，故而是 $L_G$ 的模型。

(2)

论域 $D$：$n$ 阶可逆的矩阵集合；$A^2_1$：n 阶方阵上的等号 $=$；$f_1^2$：$n$ 阶方阵的乘法；$f^1_1$：求 $n$ 阶可逆矩阵的逆，即 $f_1^1(M) = M^{−1}$；$a_1$：$n$ 阶单位方阵 $I$.

容易验证，$A_1^2$ 是相等关系，$(M_n,\times)$ 构成群，$I$ 是单位元，$f_1^1(M) = M^{-1}$ 是 $M$ 的逆元。由前一题的过程知 (2) 是 $L_G$ 的模型。