【比赛日志】JOISC2020 Day2

JOI Day2

joitter2

这一题似乎有点思路？

等价于：如果有\((x,y)\)，且有\((y,z),(z,y)\)，则有\((y,z)\)。

（显然可以直接在新图上修改，得到的图再进行操作）

考虑在原图中加一条边\((x,y)\)：

1. 若\((x,y)\)存在，则不操作。
2. 若\((y,x)\)存在，则新增了一条双向边：
   1. 对所有连向\(x\)或\(y\)的点，它们此时都同时连向了\((x,y)\)。
   2. 在这之前，如果有\((y,z)\)与\((z,x)\)，那么新增的\((z,y)\)与\((y,z)\)形成新的双向边。

假设此时的图已经是最简形式，若\((x,y)\)产生了双向边，这么处理：

将\(x,y\)缩成一个点\(x\)，将所有连向\(y\)的和\(y\)连出的边移动到\(x\)上，将siz[x] += siz[y]。

考虑什么时候可能形成新的双向边：由于原图不存在双向边，发现只有在存在\(z\)，且有\((y,z)\)与\((z,x)\)或\((z,y)\)与\((x,z)\)时才会增加，在移动的时候顺便判断一下即可。

如果用set维护，合并时用启发式合并的话，复杂度应该是\(O(n\log^2 n)\)的。

……等下，好像这个做法是错误的……因为\((x,y),(y,x),(a,b),(b,a),(x,a)\)却不一定有\((y,a)\)。

不过这个性质是对的：如果\((x,y)\)且\((y,z_1),(z_2,z_3),\ldots,(z_{k-1},z_k)\)两两可达，那么有\((x,z_i)\)。反过来也成立。

设一个极大的两两有双向边相连的的点集为一个“大点”，则最终的所有边可以用一些小点连向大点的边刻画。

若两个大点\(X,Y\)中，有\(x\in X, y\in Y\)使得有边\((x,Y),(y,X)\)，则可以将\(X,Y\)合并成一个新的大点。

对每一个小点，维护所属的大点与连出的大点；对每一个大点，维护连进的小点以实现边的转移。在修改时，需要查询在目标大点\(Y\)中，存不存在\(y\)连向目前的大点，需要额外维护每一个大点连向了哪些大点。

……这玩意有点细节……自闭了……

来具体描述一下如何操作吧：
1.