【笔记】线性代数
1 矩阵和方程组
1.4 矩阵代数
2 行列式
2.2 行列式的性质
引理 2.2.1
令\(A\)为一\(n\times n\)矩阵。若 \(A_{jk}\) 表示 \(a_{jk}\) 的余子式，其中\(k=1,\cdots,n\)，则
\[a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=\begin{cases}
\det(A) &i=j \\
0 &i\ne j
\end{cases}
\]
证明：若\(i\ne j\)，将\(A\)的第\(j\)行替换为第\(i\)行，按照第\(j\)行展开即证。
2.3
矩阵的伴随
令\(A^*=\operatorname{adj}A\)，则\(A^*_{ij}=A_{ji}\)，即\(A^*\)为\(A\)的余子式矩阵的转置。
由引理2.2.1，有\(\sum_k a_{ik}A^*_{kj}=[i=j]\det(A)\)，故
\[AA^*=|A|I
\]
