【笔记】扩展欧拉定理
扩展欧拉定理
对 \(a,m\in\mathbb Z^+,q>\phi(m)\)，有
\[a^q \equiv a^{q\bmod\phi(m)+\phi(m)} \mod m
\]
证明
设 \(a=\prod_ip_i^{A_i},m=\prod_ip_i^{M_i}\)，等价于对所有\(i\)：
\[p_i^{A_iq}\equiv p_i^{A_i(q\bmod\phi(m)+\phi(m))} \mod{\frac{m}{p_i^{M_i}}} \\
p_i^{A_iq}\equiv p_i^{A_i(q\bmod\phi(m)+\phi(m))} \mod{p_i^{M_i}}
\]
均成立。
第一个等式由\(p_i^{M_i}\|m,\phi\left(\frac{m}{p_i^{M_i}}\right)|\phi(m)\)即证。（\(\phi\)是积性函数）
第二个等式由\(\phi(m)\ge\phi(p_i^{M_i})=p_i^{M_i}-p_i^{M_i-1}\ge2^{M_i-1}\ge M_i\)即证。
