线段树---求逆序数

hdu1394 Minimum Inversion Number
题意:求Inversion后的最小逆序数
思路:用O(nlogn)复杂度求出最初逆序数后,就可以用O(1)的复杂度分别递推出其他解

线段树功能:update:单点增减 query:区间求和

逆序数：

对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个 不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。

首先，求逆序数对的思路：

1.得到整个数列后，从前往后扫，统计比a[i]小的，在a[i]后面的有多少个

这样做的话，应该是只有n2的暴力作法

2.统计a[i]前面的且比它大的数

这样做的话，就可以利用输入的时效性，

统计比这个数大的数的num和,

然后把把这个和加到总逆序数sum里。

这样做的话直接的暴力作法依然是n2，但是，

我们可以在，统计比这个数大的数的num和这一步进行优化，利用线段树求区间域值的复杂度是logn，

所以总体复杂度就降到了nlogn。

再来看这道题，求得初始数列的逆序数后，再求其他排列的逆序数有一个规律，就是

sum = sum + (n - 1 - a[i]) - a[i];

这个自行验证吧，相信很容易得出

最后，拓展一下，如果要求正序数怎么办？很简单，无非是大小调一下

再问，如果要求满足i<j<k,且a[i]>a[j]>a[k]的数对总数怎么办？

可以从中间的这个数入手，统计a[i]>a[j]的对数m，以及a[j]>a[k]的对数n，m*n就是。。。

要求a[i]>a[j]的个数还是一样的，那么a[j]>a[k]的个数呢？

两种思路：

1.得到a[i]>a[j]的对数后，将数列倒过来后再求a[j]<a[k]的对数

2.更简单的做法是，找到规律发现，n = 整个数列中比a[j]小的数 — 在a[j]前面已经出现的比a[j]小的数的个数

即（假设数列是从1开始的） n = (a[j] -1) - (j - 1 - m )

本题处理：

#include <cstdio>  
#define lson l , m , rt << 1  
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1  
const int maxn = 5555; 
int a[maxn];  
struct Tree{  
    int value;  
}tree[maxn<<2];  
  
void PushUP(int rt) {  
    tree[rt].value = tree[rt<<1].value + tree[rt<<1|1].value;  
}  
void build(int l,int r,int rt) { 
	tree[rt].value=0; //初始化
    if (l == r) {  
        return ;  
    }  
    int m = (l + r) >> 1;  
    build(lson);  
    build(rson);  
    //PushUP(rt);  这题初始化0 没必要这步了
}  
void update(int p,int l,int r,int rt) {//p表示要进行操作的人是第几个  
    if (l == r) {   
        tree[rt].value =1;  
        return ;  
    }  
    int m = (l + r) >> 1;  
    if (p <= m) update(p , lson);  
    else update(p , rson);  
    PushUP(rt);  //这步需要，
}  

int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {  
    if (L <= l && r <= R) {  
        return tree[rt].value;  
    }  
    int m = (l + r) >> 1;  
    int ret = 0;  
    if (L <= m) ret += query(L , R , lson);  //找到最底部
    if (R > m) ret += query(L , R , rson);  
    return ret;  
}  
int main(){
    int n,sum,ans;//sum临时用 ans最后结果
    int i;

    while(scanf("%d",&n) != EOF){
        sum = 0;
        build(0,n-1,1); //题目是从0~n-1
        for(i = 1;i <= n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            update(a[i],0,n-1,1);
            sum += query(a[i]+1,n-1,0,n-1,1); 
			//因为刚刚输的是a[i],那我们从(a[i]+1,n-1)找
        }
        ans = sum;//先让ans为初始顺序的值
        for(i = 1;i < n;i++){
            sum = sum + (n - 1 - a[i]) - a[i];//重点步骤注意理解
        
			ans = ans<sum?ans:sum;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
	return 0;
}

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