<<背包问题---01背包(原理,伪代码,编程实现)>>中已谈过01背包,这里再重写一下01背包的动态规划状态及状态方程:
设背包容量为V,一共N件物品,每件物品体积为C[i],每件物品的价值为W[i]
1) 子问题定义:F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。
2) 根据第i件物品放或不放进行决策
(1-1)
最优方案总数这里指物品总价值最大的方案数。
我们设G[i][j]代表F[i][j]的方案总数,那么最总结果应该是G[N][V]。我们初始化G[][]为1,因为对每个F[i][j]至少应该有一种方案,即前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包使其价值最大的方案数至少为1,因为F[i][j]一定存在。
下面开始分析怎么求G[i][j]。对于01背包来说:
如果F[i][j]=F[i-1][j]且F[i][j]!=F[i-1][j-C[i]]+W[i]说明在状态[i][j]时只有前i-1件物品的放入才会使价值最大,所以第i件物品不放入,那么到状态[i][j]的方案数应该等于[i-1][j]状态的方案数即G[i][j]=G[i-1][j];
如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]!=F[i-1][j]说明在状态[i][j]时只有第i件物品的加入才会使总价值最大,那么方案数应该等于[i-1][j-C[i]]的方案数,即G[i][j]=G[i-1][j-C[i]];
如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]=F[i-1][j]则说明即可以通过状态[i-1][j]在不加入第i件物品情况下到达状态[i][j],又可以通过状态[i-1][j-C[i]]在加入第i件物品的情况下到达状态[i][j],并且这两种情况都使得价值最大且这两种情况是互斥的,所以方案总数为G[i][j]=G[i-1][j-C[i]]+ G[i-1][j]。
经过上面的分析,得出下述伪代码:
- F[0][] ← 0
- F[][0] ← 0
- G[][ ] ← 1
- for i ← 1 to N
- do for j ← 1 to V
- F[i][j] ← F[i-1][j]
- G[i][j] ← G[i-1][j]
- if (j >= C[i])
- if (F[i][j] < F[i-1][j-C[i]]+W[i])
- then F[i][j] ← F[i-1][j-C[i]]+W[i]
- G[i][j] ← G[i-1][j-C[i]]
- else if (F[i][j] = F[i-1][j-C[i]]+W[i])
- then G[i][j] ← G[i-1][j]+G[i-1][j-C[i]]
- return F[N][V] and G[N][V]
上述方法在保存状态F[][]及G[][]时需要O(NV)的空间复杂度,下面我们对空间复制度进行优化。
压缩空间复杂度为O(V)
F[i][j]与G[i][j]只分别与F[i-1][]和G[i-1][]的状态有关,所以我们可以用两个一维数组F[]和G[]来替换二维数组F[][]和G[][]。具体思想请看博文
<<背包问题——“01背包”详解及实现(包含背包中具体物品的求解)>>
下面直接给出伪代码:
- F[] ← 0
- G[] ← 1
- for i ← 1 to N
- do for j ← V to C[i]
- if (F[j] < F[j-C[i]]+W[i])
- then F[j] ← F[j-C[i]]+W[i]
- G[j] ← G[j-C[i]]
- else if (F[j] = F[j-C[i]]+W[i])
- then G[j] ← G[j]+G[j-C[i]]
- return F[V] and G[V]
下面对数据表给出详细代码:
物品号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
体积C | 3 | 2 | 5 | 4 | 5 |
价值W | 5 | 5 | 10 | 10 | 10 |
#include<iostream> using namespace std; #define Size 1111 int dp[Size]; int Path[Size][Size]; int OptimalTable[Size]; int Max(int x,int y) { return x>y?x:y; } int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int goodsN, int maxWeight){ int i,j; /*======初始化======*/ memset(dp,0,sizeof(dp)); memset(Path,0,sizeof(Path)); // memset(OptimalTable,1,sizeof(OptimalTable)); 这样初始化会出错 /* 因为memset是以字节为单位就是对array指向的内存的4个字节进行赋值, 每个都用ASCII为1的字符去填充,转为二进制后,1就是00000001,占一个字节。 一个INT元素是4字节,合一起就是00000001000000010000000100000001, 就等于16843009,就完成了对一个INT元素的赋值了。 所以用memset对非字符型数组赋初值是不可取的! */ for(int kt=0;kt<=maxWeight;kt++) OptimalTable[kt]=1; /*======初始化======*/ for(i=1;i<=goodsN;i++) //即怎么都有一种 for(j=maxWeight;j>=Weight[i];j--){ if(dp[j]<(dp[j-Weight[i]]+Value[i])){//说明选第i最优 dp[j] = dp[j-Weight[i]]+Value[i]; OptimalTable[j]=OptimalTable[j-Weight[i]];//方案数和[j-Weight[i]]一样 } else if(dp[j]==(dp[j-Weight[i]]+Value[i])){ OptimalTable[j] = OptimalTable[j-Weight[i]]+OptimalTable[j]; } //else dp[j]>dp[j-Weight[i]]+Value[i]---> // 说明第i个不选 在weight=j这种情况下OptimalTable[j] =OptimalTable[j] } return dp[maxWeight]; } int main() { int va[Size],vm[Size]; int t,n,m; int i; cin>>t; //t组测试数据 while(t--) { cin>>n>>m; //n为个数,m为最大载重量 for(i=1;i<=n;i++) cin>>va[i]; for(i=1;i<=n;i++) cin>>vm[i]; int myWhats=Package01_Compress(vm,va, n, m); cout<<myWhats<<endl; cout<<"-----一共有"<<OptimalTable[m]<<"组最优情况"<<endl; } return 0; }
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