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以下是参考的大牛的,可以说是读后感;



Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的。这时候,就需要使用其他的算法来求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼(Richard Bellman, 动态规划的提出者)和小莱斯特•福特(Lester Ford)发明。Bellman-Ford算法的流程如下:
给定图G(V, E)(其中V、E分别为图G的顶点集与边集),源点s,

  • 数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0;
  •  
    以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
    对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值;
    若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;
  • 为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

首先介绍一下松弛计算。如下图:


 

松弛计算之前,点B的值是8,但是点A的值加上边上的权重2,得到5,比点B的值(8)小,所以,点B的值减小为5。这个过程的意义是,找到了一条通向B点更短的路线,且该路线是先经过点A,然后通过权重为2的边,到达点B。
当然,如果出现一下情况


 

则不会修改点B的值,因为3+4>6。
 
Bellman-Ford算法可以大致分为三个部分
第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
第二,进行循环,循环下标为从1到n-1(n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
第三,遍历途中所有的边(edge(u,v)),判断是否存在这样情况:
d(v) > d (u) + w(u,v)
则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图:
 

经过第一次遍历后,点B的值变为5,点C的值变为8,这时,注意权重为-10的边,这条边的存在,导致点A的值变为-2。(8+ -10=-2)
 
 

第二次遍历后,点B的值变为3,点C变为6,点A变为-4。正是因为有一条负边在回路中,导致每次遍历后,各个点的值不断变小。
 
在回过来看一下bellman-ford算法的第三部分,遍历所有边,检查是否存在d(v) > d (u) + w(u,v)。因为第二部分循环的次数是定长的,所以如果存在无法收敛的情况,则肯定能够在第三部分中检查出来。比如
 

此时,点A的值为-2,点B的值为5,边AB的权重为5,5 > -2 + 5. 检查出来这条边没有收敛。
 
所以,Bellman-Ford算法可以解决图中有权为负数的边的单源最短路径问。

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxnum = 100;
const int maxint = 99999;

// 边,
typedef struct Edge{
	int u, v;    // 起点,终点
	int weight;  // 边的权值
}Edge;

Edge edge[maxnum];     // 保存边的值
int  dist[maxnum];     // 结点到源点最小距离

int nodenum, edgenum, source;    // 结点数,边数,源点

// 初始化图
void init()
{
	// 输入结点数,边数,源点
	cin >> nodenum >> edgenum >> source;
	for(int i=1; i<=nodenum; ++i)
		dist[i] = maxint;
	dist[source] = 0;
	for(int i=1; i<=edgenum; ++i)
	{
		cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].weight;
		if(edge[i].u == source)          //注意这里设置初始情况
			dist[edge[i].v] = edge[i].weight;
	}
}

// 松弛计算
void relax(int u, int v, int weight)
{
	if(dist[v] > dist[u] + weight)
		dist[v] = dist[u] + weight;
}

bool Bellman_Ford()
{
	for(int i=1; i<=nodenum-1; ++i)   //为什么要进行的次数是nodenum-1?
		for(int j=1; j<=edgenum; ++j)
			relax(edge[j].u, edge[j].v, edge[j].weight);
	bool flag = 1;
	// 判断是否有负环路(为什么?看上面的解析)
	//if在上面未更新nodenum-1次的情况下 会使得dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].weight 因为未更新完全 为什么要nodenum-1次?看解析
	for(int i=1; i<=edgenum; ++i)
		if(dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].weight)
		{
			flag = 0;
			break;
		}
	return flag;
}
int main()
{

    init();
	if(Bellman_Ford())
		for(int i = 1 ;i <= nodenum; i++)
			cout << dist[i] << endl;
	return 0;
}

/*
 7 10 1
1 2 4
1 3 5
2 3 5
3 4 6
4 7 10
6 7 1
1 6 8
5 6 3
5 7 1
2 5 1
0
4
5
11
5
8
6
 */
//问题一:
//为什么经过n-1次循环就能得到最短路径?
//问题二:
//第三,遍历途中所有的边(edge(u,v)),判断是否存在这样情况:
//d(v) > d (u) + w(u,v)
//则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
//为什么存在d(v) > d (u) + w(u,v)就表示途中存在从源点可达的权为负的回路??

//问题1:
//for(int i=1; i<=nodenum-1; ++i)
//松弛n-1次,即对无闭环回路(n-1条边)分别relax。
//问题2:
//因为d(u)+w(u,v)在w(u,w)是正的情况下,一定大于d(v)。






//补充:
//考虑:为什么要循环V-1次?
//答:因为最短路径肯定是个简单路径,不可能包含回路的,
//如果包含回路,且回路的权值和为正的,那么去掉这个回路,可以得到更短的路径
//如果回路的权值是负的,那么肯定没有解了
//
//图有n个点,又不能有回路
//所以最短路径最多n-1边
//
//又因为每次循环,至少relax一边
//所以最多n-1次就行了



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posted on 2014-07-31 15:42  france  阅读(185)  评论(0编辑  收藏  举报