螺旋线
螺旋线
定义
本文的情景下，圆弧都是在特定的平面下定义的，比如X-Y平面、Y-Z平面、Z-X平面。圆弧的一些属性，比如圆心、半径、圆心角、圆弧上某一点的向量角等都是在平面上定义的。以下是一些概念的说明：
- 起点半径：圆弧起点到圆心的距离
- 终点半径：圆弧终点到圆心的距离
- 螺线：当圆弧的起点半径与终点半径不相等，且圆弧从起点到终点的半径随着角度呈线性变化，此时圆弧被认为是螺线
- 螺旋：当圆弧还具有垂直于平面的高度时，且高度随着角度呈线性变化，此时圆弧被认为是螺旋
- 螺距：螺旋每走一圈的高度差
- 圆锥线：当圆弧既是螺线又是螺旋时，圆弧被认为是圆锥线
公式推导
螺旋
螺旋的长度：
\[L = \sqrt {(R*\theta_0)^2+H^2}
\]
其中，螺旋高度\(H\)，圆弧半径\(R\)。
螺旋的切向向量：
\[\begin{cases}
\frac {dx}{d\theta}=-R\sin\theta
\\
\frac {dy}{d\theta}=R\cos\theta
\\
\frac {dz}{d\theta}=\frac {H}{\theta_0} = S
\end{cases}
\]
螺旋的曲率向量：\(\frac {R}{(\sqrt{R^2+S^2})^3} (S\sin\theta,-S\cos\theta, R)\)
曲率公式（分子的模去掉即为曲率向量）：
\[k=\frac {|r'(t) \times r''(t)|}{|r'(t)|^3}
\]
螺线
螺线的数学模型：
\[R = \frac{Re * \theta + Rs(\theta_0-\theta)}{\theta_0} = a * \theta + Rs \tag1
\]
其中，起点半径\(Rs\)，终点半径\(Re\)，圆心角\(\theta_0\)，\(a\)为圆弧半径随圆心角的变化率。
螺线长度微分：
\[dxy=\sqrt{(Rd\theta)^2+(dR)^2}=\sqrt{R^2+a^2}d\theta \tag2
\]
将公式(1)代入公式(2)可化简为公式(3)的形式
\[dxy=\sqrt{A\theta^2+B\theta+C}d\theta \tag3
\]
其中，\(A=a^2, B=2aRs, C=a^2+Rs^2\)
套用下图中的积分公式进行积分即可得到螺线长度：
公式证明中有部分错误，请读者自己注意甄别。
圆锥线
圆锥线就是在螺线的基础上加一个轴的分量。
\[dxyz=\sqrt{A\theta^2+B\theta+C}d\theta
\]
其中，\(A=a^2, B=2aRs, C=a^2+Rs^2+S^2\)，\(S\)为圆弧高度随圆心角的变化率。
然后同样按照上一节的积分公式进行积分得到圆锥线长度。
圆锥线的切向向量和曲率向量按照公式代入推导即可，下面直接给出结果。
圆锥线的切向向量：
\[\begin{cases}
\frac {dx}{d\theta}=-R\sin\theta +a\cos\theta
\\
\frac {dy}{d\theta}=R\cos\theta+a\sin\theta
\\
\frac {dz}{d\theta}=\frac {H}{\theta_0} = S
\end{cases}
\]
圆锥线的曲率向量：\(\frac {1}{(\sqrt{R^2+S^2+a^2})^3} (S(R\sin\theta-2a\cos\theta),-S(R\cos\theta+2a\sin\theta), R^2+2a^2)\)
\(S=0\)代入以上公式即为螺线的结果。
