hdu2065"红色病毒"问题(指数母函数+快速幂取模)

"红色病毒"问题

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Problem Description
医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
(2) A出现偶数次(也可以不出现);
(3) C出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.
 

 

Input
每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2^64),当T=0时结束.
 

 

Output
对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.
 

 

Sample Input
4
1
4
20
11
3
14
24
6
0
 

 

Sample Output
Case 1: 2
Case 2: 72
Case 3: 32
Case 4: 0
 
 
Case 1: 56
Case 2: 72
Case 3: 56

用母函数来做

A：(1 + x^2/1! + x^4/2! + ….); 

B:(1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …);

C:(1 + x^2/1! + x^4/2! + ….);

D:(1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …);

可以得到

G(x) = (1 + x^2/1! + x^4/2! + ….)2 * (1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …)2;

由泰勒展开式

ex = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + …

e-x = 1 - x/1! + x^2/2! - x^3/3! + …

得到

G(x) = e^2x + ((e^x + e^-x)/2)2;

= (1/4) * (^e2x + 1)2

= (1/4) * (e^4x + 2*e^2x + 1);

又因为：

e4x = 1 + (4x)/1! + (4x)^2/2! + (4x)^3/3! + … + (4x)^n/n!;

e2x = 1 + (2x)/1! + (2x)^2/2! + (2x)^3/3! + … + (2x)^n/n!;
所以：

n次幂的排列数为 (1/4)(4^n + 2*2^n)
化简为(4^(n-1)+2^(n-1))%100

因为数据比较大，所以要用到快速幂取模

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 long long mod_exp(long long a, long long b, long long c)        //快速幂取余a^b%c
 4 {
 5     long long res, t;
 6     res = 1 % c; 
 7     t = a % c;
 8     while (b)
 9     {
10         if (b & 1)
11         {
12             res = res * t % c;
13         }
14         t = t * t % c;
15         b >>= 1;
16     }
17     return res;
18 }
19 int main()
20 {
21     int t;
22     while(~scanf("%d",&t),t)
23     {
24         int cases=0;
25         while(t--)
26         {
27             
28             cases++;
29             long long n;scanf("%lld",&n);
30             long long ans=(mod_exp(4,n-1,100)+mod_exp(2,n-1,100))%100; 
31             printf("Case %d: %lld\n",cases,ans);
32             
33         }
34         printf("\n");
35     }
36     return 0;
37 }
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 https://blog.csdn.net/weixin_39778570/article/details/82256128

posted @ 2018-11-16 00:54  柠檬加糖  阅读(306)  评论(0)  编辑  收藏  举报