学习笔记 生成函数

\(T(x)=xe^{T(x)}\)

引自yyb的博客

EGF本质上和OGF是类似的，区别在于除了一个阶乘。

分母多除了一个阶乘意味着分子也要多乘阶乘，而你的值就是分子的值，所以多乘一个阶乘当然是排列了

阶乘在计数中意为着什么呢？顺序。
那么从中，我们明白了这样一件事情：OGF考虑的是组合，意味着相同物品之间没有区别，而EGF考虑的是排列，相同之间也要考虑一个顺序关系。

基础知识

约定

\(x^{\overline{n}}=\Pi_{i=0}^{n-1}(x+i)=x(x+1)...(x+n-1)\)

\(x^{\underline{n}}=\Pi_{i=0}^{n-1}(x-i)=x(x-1)..(x-n+1)\)

函数\(F(x)\) 的\(x^n\) 项系数记作\([x^n]F(x)\)

广义二项式,幂级数(OGF用)

系数

\({\alpha \choose k}=\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-k+1)}{k!}\)

定理

\((x+y)^\alpha=\sum_{k=0}^{\infty}{\alpha\choose k}x^{\alpha-k}y^k\)

常用展开

\(\frac{1}{1-A(x)}=\sum_{i\ge 0}A^{i}(x)\)

泰勒级数（EGF用）

麦克劳林级数

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)

常用展开

\(e^x=\sum_{n\ge0}\frac{1}{n!}x^n\)

\(xe^x=\sum_{n\ge 0}\frac{n}{n!}x^n\)

\(e^{Cx}=\sum_{i\ge 0}\frac{C^n}{n!}x^n\)

\(\ln(1-x)=-\sum_{n\ge1}\frac{1}{n}x^n\)

常用运算

\(\frac{1}{1-A(x)}=\sum_{i\ge 0}A^{i}(x)\)

\(\ln(1-A(x))=-\sum_{i\ge1}\frac{1}{i}A^i(x)\)

\(\exp(A(x))=\sum_{i\ge 0}\frac{A^i(x)}{i!}\)

题目选解

第一类 STIRLING 数列的生成函数

推一下递推式子

\[\begin{aligned} F_{n+1}(x)&=\sum_{i\ge 1}(nS(n,i)+ S(n,i-1))x^i\\&=n\sum_{i\ge1}S(n,i)x^i+x\sum_{i\ge1}S(n,i-1)x^{i-1}\\&=(x+n)F_n(x) \end{aligned} \]

然后数学归纳法可证\(F_n(x)=\Pi_{i=0}^{n-1}(x+i)=x^{\overline{n}}\)

城市规划

设\(g(n)=2^{\frac{n(n-1)}{2}}/n!=2^{n\choose2}/n!\)表示n个点的有标号无向图(不一定连通)的方案数/n!

\(f(n)\)表示n个点的有标号连通无向图的方案数/n!

然后写出这两个的生成函数 $ G(x)$ , \(F(x)\)，发现是EGF型的

还有如下关系

\[\begin{aligned}G(x)&=\sum_{k\ge0}\frac{F^{k}(x)}{k!} \\ &=\exp(F(x))\end{aligned} \]

故\(F(x)=\ln(G(x))\)

答案为\([F_n]G*n!\)

付公主的背包

相乘转换为对数相加

见题解 付公主的背包

参考资料

yyb的博客

鏼爷15年集训队论文