题解 lg2480 古代猪文

题意

给定整数\(q,n(1\leq q,n\leq 10^9)\)，求\(q^{\sum_{d|n}C_{n}^{d}}\mod 999911659\)

思路

首先由扩展欧拉定理可知，因为999911659为质数

\[q^{\sum_{d|n}C_{n}^{d}}\equiv q^{\sum_{d|n}C_{n}^{d} \mod 999911658}\mod 999911659 \]

设\(x=\sum_{d|n}C_{n}^{d} \mod 999911658\)，然后再 由于\(fact(999911658)=2*3*4679*35617\)，所以可以先以2,3,4679,35617为模数求\(\sum_{d|n}C_{n}^{d}\)，分别记作\(a_1,a_2,a_3,a_4\)，那么求解以下方程组即可得到\(x\)

\[\begin{cases} x\equiv a_1 \mod 2\\ x\equiv a_2 \mod 3 \\ x\equiv a_3 \mod 4679 \\ x\equiv a_4 \mod 35617\end{cases} \]

无足轻重的解释：\(p_i|x-a_i\)，那么满足这些情况的\(x\)一定满足其积

然后再求\(q^x\mod 999911659\)即可