寻找最大的钻石有多难

寻找最大的钻石有多难

HUST微软技术俱乐部又要招新了，在准备招新工作的时候，我顺便翻阅了一下去年的笔试题，其中能力测试第一题是这样的：

 

  电梯问题——一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。您乘坐电梯从一楼到十楼，每层楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问：怎样才能拿到最大的一颗﹖（提示：没有完美的策略，合理的取舍是解决问题的必要手段）

 

  这是一个经典的面试题，如题所言，这道题没有完美的策略能确保你拿到最大的钻石。我们所认可的答案有很多种。比如1-3层选出大中小的标准，4-6层验证前面的结果，7-9层做出选择，10层保底。或者1-5层确定大中小标准，6-10层选择都可以。首先要正确理解题意，一些过于发散的答案（比如走楼梯，电梯来回）不应该被接受，因为这些答案已经违背了题意，其次是一个细节问题，至少需要选择一颗宝石，哪怕1-9层都错过了第10层再小也要选择，不能空手不取。最重要的是，要能体现出你的策略，要有一个解决问题的思路，尽管它可能不一定很正确。

 

  回到题目本身，到底有没有办法能让你有一个较大的概率得到最大的钻石呢？我们不妨来分析一下。假设按照“丢硬币”的心理，我们随便选一层楼去拿钻石（这也算是一种方案，至少它让我们不必犹豫不决，让我们把责任推给上天）。显然，这种方式我们有10%的概率拿到最大钻石，这概率确实比较小。

 

  还有一种似乎复杂一些的策略是：我们把十层楼分成5+5的两部分，前5层均不拿钻石，通俗的话来说，在前5层，你就是抱着看一看的心理。然后到后5层的时候，你第一次见到比前5层都大的钻石，就拿走那一颗。这种情况下，我们把最大钻石出现之前的所有钻石的最大的那一颗记作b2，只要b2位于前5层，则最后一定能得到最大的钻石。此时，我们计算得到最大钻石的概率为：

p=（1/10）* 1+（1/10）*（5/6）+（1/10）*（5/7）+（1/10）*（5/8）+ （1/10）*（5/9）

  表示最大钻石出现在不同位置上（第6-10层）的时候，b2出现在前5层的概率。

  这样计算出来的概率为37.28%！这可是一个不小的概率了！

 

  但是，还有更有效的办法么？细心的人会发现，我们为什么要将十层楼分成5+5的两部分呢？分成n+（10-n）层会不会有更优的解呢？基于前面的模型，我们很容易得出下面的事实：只要b2出现在前n层，则一定能得到最大的钻石。此时的概率为：

  p=(1/10)[(1+n/(n+1)+n/(n+2)+...+n/9)]　--- (1)

  它表示当最大的钻石出现在n+1到第10层的时候，b2出现在前n层的概率。我们令(1)式对应函数f(n)，用matlab来可以绘制出这个函数的大致曲线（你也可以用Excel或者其他数学工具）：

　

  当n取3的时候（n实际上只能取整数），概率取得最大值为39.87%！这个值或许比你想象中要大了许多。也就是说当你对前三层楼的钻石持观望态度，后面一旦遇到比这前三个都大的钻石就立即取出。这样你得到最大钻石的概率为39.87%

 

  我们还可以来看看更为一般的情况，假设这个楼并不止9层，它有X层高，我们希望得出最大概率与X的关系。那么和（1）式同样的道理，拿到最大钻石的概率由下面的式子确定：

 p=1/X[n/n+n/(n+1)+...+n/X] -- （2）

  我们可以使用Matlab大致绘制出p-X的曲线：

 

  可以看到，当X趋近正无穷大的时候，这个概率是趋近0.35到0.4之间的某个数值的（后面我们证明之），通过对(2)求极值可求出该值。令（2）式右边为G(n)为了方便求解，我们假定G(n)是个连续函数。G(n)=n/X[1/n+1/(n+1)+...+1/(X-1)] ，中括号中是一个调和级数的一部分，无法直接用公式求解。不过，当X趋近与无穷大的时候，G(n)可以写成如下形式G(n)=n/X[ln(X-1)-ln(n)] 约等于 n/X[ln(X)-ln(n)]=-(n/X)ln(n/X) --- (3)

 

 令(3)式右边为H(n), 易知H(n)为连续可导的凹函数，一阶导数H‘(n) = - （1+ln(n/X)）, 令 H'(n) = 0，得 n=X/e，带入H(n)得H(X/e)=1/e约为0.3679。换句话说，就算再高的楼，只要你策略选择得当，你也能有至少36.79%的概率能拿到最大钻石。

 

  你还有更好的策略吗？欢迎在留言中与我交流;-)

  Freesc
  9月14日