约瑟夫问题(Josephus Problem)

背景
     相传公元一世纪著名犹太历史学家约瑟夫在罗马人占领乔塔帕特後，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

约瑟夫问题描述
      设有n个犯人坐成一个圈(编号1~n)，从第k(1<=k<=n)个人开始报数，数到m的人将被处决掉，接着从下一个人开始从新报数，数到m的人再被处决，如此循环，直至剩下一名犯人. 求处决犯人的顺序和最后的幸存者编号.
      我们可以用代码模拟整个过程从而得出正确的答案:

 1      /**//// <summary>
 2        /// 解约瑟夫问题
 3        /// </summary>
 4        /// <param name="total">环节点总数</param>
 5        /// <param name="eliminate">每次排除数到eliminate的人</param>
 6        /// <param name="start">起始节点号</param>
 7        /// <returns>最后剩下的节点号</returns>
 8        private static int SolveJosephus(int total,int eliminate,int start)
 9        {
10            int[] killed = new int[total];
11            int OrderNum = 1;//序号
12            int Suffix = (start-1)%total;//Suffix标记每次计数的开始点,做为killed的下标
13            int CountNum = 0;//killed数
14            int Survivor = 0;
15
16            Console.WriteLine("The kill order is:");
17
18           while(CountNum<total-1)
19            {
20                if(((OrderNum % eliminate)|(killed[Suffix]))==0)
21                {
22                    killed[Suffix] = 1;//标记为已kill
23                    Console.Write("{0,-5:d}", Suffix+1);
24                    CountNum++;
25                    OrderNum++;
26                }
27                if(killed[Suffix] != 1)
28                {
29                    OrderNum++;
30                }
31                Suffix++;
32                Suffix %= total;
33            }
34
35            for (int i = 0; i < total; i++)
36                if (killed[i] == 0)
37                {
38                    Survivor = i;
39                    Console.WriteLine("\nSurvivor's number: {0}", i + 1);
40                }
41            return Survivor;
42        }

    当然, 这并不是最好最高效的解法.这里我们回到广义的约瑟夫问题来分析一下:
    如果有n个人围成一圈而坐，每个人的位置都带编号，编号从1到n（没有重复的），从第k个位置开始数数，当数到m时，那个人退出圈子，再从退出的那个人的下一个位置开始数（假定是顺时针数的），一直到剩下r个人。

进一步分析

    n个人玩这个游戏的时候，假设最后剩下的r个人中，其中一个人占据了第p个位置，那当我们以n + 1个人开始玩游戏的时候，显然，这第n + 1个人希望被安排到第p + m个位置，因为如果第p个人是安全的，那么至少这第（p + m）MOD （n + 1）个位置上的人也是安全的，他的理由是“既然现在是n + 1个人玩，仍然只能留r个人，那么只要在n个人剩余的r个人里面有一个人在我之前退出就可以了，所以我要加在这第r个人中某个人的后面m处”。对应的，如果n个人玩的时候，第q个位置上的人退出了圈子，那n + 1个人玩的时候第（q + m）MOD （n + 1）个位置上的人也得退出圈子。根据前面的递推公式,显然我们可以通过逆推得到最终解,原先的约瑟夫函数可以写成如下形式:

        private static int SolveJosephus2(int total, int eliminate, int start)
        {
            int j, k = 0;
            int[] count = new int[total + 1];
            int[] s = new int[total + 1];
            for (int i = 0; i < total+1; i++)
            {
                s[i] = i;
            }
            for (int i = total; i > 1; i--)
            {
                start = (start + eliminate - 1) % i;
                if (start == 0)
                    start = i;
                count[k] = s[start];
                k++;
                for (j = start + 1; j <= i; j++)
                    s[j - 1] = s[j];
            }
            count[k] = s[1];

            Console.WriteLine("The kill order is:");
            for (int i = 0; i < total-1; i++)
            {
                Console.Write("{0,-5:d}",count[i]);
            }
            Console.WriteLine("\nSurvivor's number: {0}", count[total-1]);
            return count[total-1];
        } 

      

推论
      从上面的分析中已经知道，每次添加一个人到游戏中，原来剩余的那r个人的位置就会“后移”m个单位，因为新加的人使得ta之前的第m个人退出了圈子。所以我们可以进一步地作出这样的推论：

假设n个人玩游戏，最后一个幸存者（即r = 1时）占据了编号为p的位置，而在n + x个人玩的时候，最后一个幸存者占据第y个位置。那么y = （p + mx ）MOD (n + x)。
      这样我们就可以根据不同的初值n迅速计算出最后一个人的位置了。

参考资料
      1.W.W.Rouse Ball and H.S.M.Coxeter, Mathematical Recreations and Essays, Dover, 1987 
      2.Wikipedia,Josephus Problem,http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem

黄季冬
2009年8月4日